Titre non conforme

[KCP]

Bonjour , j'ai un dm sur les fonctions polynomiales à faire pour vendredi .
J'en suis à la derniere question :

" Soit n un entier naturel . Montrer qu'une fonction polynomiale non nulle de degré n a au plus n racines disctinctes " ...

Je suppose que je dois demontrer ça par l'absurde mais je sais ni comment commencer ni comment faire !

[sclormu]

Salut, bizarre comme dernière question de DM.
M'enfin.
Si a est une racine de P, étudie la division euclidienne de P par X-a.

[KCP]

si a racine de P(X) alors P(X) se factorise en P(X)= (X-a)Q(X)

[KCP]

avec P polynome de degre n
et Q (n-1)
ou P n+1 et Q n ??

[Timothé Lefebvre]

Bonjour,

c'est plutôt niveau Première ça comme question ...

Raisonnement par l'absurde.

P n'est pas la fonction nulle puisqu'elle a un degré.
Si P possédait p racines avec p>n, on note lambda_1, lambda_2, ..., lambda_p ces racines, on applique p fois le th de la facto : P(x)=(x-lambda_1)...(x-lambda_p)Q(x) et tu continues. Tu dois pouvoir trouver l'absurdité.

Question subsidiaire : ce th est-il vrai si on considère des coeff non réels ?

[KCP]

Euh ... J'arrive pas à voir ou est l'absurdité :$

[Timothé Lefebvre]

Q a un degré tq n-p<0 donc Q=0, donc P=0 d'où l'absurdité puisqu'on a considéré au départ .
Donc P ne possède pas plus de n racines réelles.

[AlexisD]

Et pourquoi ne pas raisonner par récurrence sur le degré du polynôme ?
C'est une bonne manière de voir les choses. Mais il y a plusieurs méthodes en effet...