Equivalence - congruences

par **jeje56** » 20 Oct 2009, 16:13

Bonsoir,

Je dois montrer l'équivalence : 10^k=1 modulo 7 ssi k est multiple de 6 (k entier strictement positif)

Je pense au petit théorème de Fermat... Mais je n'arrive pas à mettre en place la démonstration correctement...

Merci bcp de votre aide !

Je dis : 10^6=1 mdulo 7 donc 10^(6p)=1 modulo 7, p entier positif, et en posant k=6p on prouve l'implication de droite à gauche...

par **Doraki** » 20 Oct 2009, 17:26

Sachant que 10^(6p) = 1 modulo 7,
que dire des 10^(6p+1), 10^(6p+2), ..., 10^(6p+5) modulo 7 ?

par **Zavonen** » 20 Oct 2009, 19:13

10 est congru à 3 mod 7
donc 10^k est congru à 3^k
Il suffit de regarder l'ordre de 3 dans (Z/77)*.

par **Doraki** » 20 Oct 2009, 19:23

Et qu'est-ce qui t'empêche de montrer l'implication de gauche à droite ?

par **jeje56** » 21 Oct 2009, 06:39

Merci à vous deux,

Je comprends la disjonction de cas : est-ce qu'une démonstration par équivalence est alors possible ensuite ?

Merci !

par **dudumath** » 21 Oct 2009, 19:59

méfie toi des équivalence avec les congruences, car la multiplication, laddition sont compatibles avec els congruences, mais pas la division ce qui empeche parfois de remonter la démonstration

par **jeje56** » 22 Oct 2009, 08:06

D'accord, merci !

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