A tête reposée

[Imod]

Bonjour .

Pourquoi fermer ce fil ? Les arguments d'autorité seraient-il devenus la loi ? En sciences chacun a le droit de défendre son point de vue s'il le fait en respectant les ( idées des ) autres ce qu'a fait Bouillon il me semble .

Imod

PS : Je suis sûrement très con mais en ne tenant compte que de la masse volumique ( ce qui se fait usuellement en maths ) la solution apportée au premier problème me convient tout à fait :zen:

PPS : J'ai lu un article concernant le deuxième problème mais là , il s'agît plus de physique et j'ai très vite décroché :we:

[nodjim]

Bonjour Imod.
Content de te revoir ici.

[Quidam]

Il me semble évident que si la flamme de la bougie est à un pouième de la table, celle-ci recevra quasiment la moitié de l'énergie lumineuse émise par la flamme et que ceci ne peut que décroître lorsque la flamme s'élève. Par contre, cette énergie lumineuse sera très concentrée autour du point de la table le plus proche. Pour résoudre la question, il faut, à mon sens, savoir quelle est la distance maximale entre ce point central et la zone où l'on lit. La quantité d'énergie reçue à une distance donnée d part de 0 lorsque la flamme est sur la table (flamme de taille 0 bien sûr !), croît lorsque la flamme s'élève et ensuite tend vers 0 lorsque la flamme part à l'infini. Il me semble clair que cette quantité passera par un maximum, lorsque la flamme sera à une certaine hauteur h dépendant bien sûr de la distance d. Sans d on ne peut rien faire, avec d un calcul d'angle solide devrait résoudre la question.

[kazeriahm]

Je suis sidere par ce qui s'est passe sur l'autre fil

[Alpha]

Et moi je maintiens que la tour eiffel peut être réalisée avec exactement 346422 bâtons d'allumettes... :marteau:

Histoire de mettre tout le monde d'accord. :zen:

[emcee]

Pour le problème de la bougie il me semble qu'on a du mal à avancer car on ne comprend pas tous la même chose ...
Plaçons nous dans un repère Oxyz, le livre ouvert serait une portion du plan Ox,Oy, disons {(x,y,0) tq 0
La question revient 1) à montrer qu'il existe une altitude ou l'angle solide défini par le point "bougie" et le carré "livre" est maximal (donc le flux de lumière maximal) et 2) calculer cette altitude en fonction de (a,b).

Pour le premier point, on sent bien qu'à une altitude nulle l'angle solide est nul et que quand elle tend vers l'infini, l'angle solide tend aussi vers 0 -> d'où l'existence d'un maximum.

Pour le second, je crains de voir des équations sans fin ...

[Bouillon]

Après avoir été censuré par le modérateur, voici la solution à ce problème.

Il peut sembler que pour obtenir le meilleur éclairage, il faut placer la flamme aussi basse que possible. Or, il n’en est rien. Lorsque la flamme est placée très bas, l’angle d’incidence des rayons est très grand. Si on élève la bougie de façon que cet angle soit petit, on éloigne la source de lumière. Le meilleur éclairage sera donc donné par une flamme située à une certaine hauteur moyenne au-dessus de la table, que nous noterons x. Soit a la distance BC de la ligne (que je suis en train de lire) B au pied de la bougie C de la perpendiculaire menée par la flamme A.
Si i est la brillance de la flamme, l’éclairement de la ligne, selon les lois de l’optique, sera :
icos ;)/AB² avec AB²= [;)(a²+x²)]²= a²+x²
On a : (icos ;))/(a²+x²)
où ;) (alpha) est l’angle d’incidence du faisceau de rayons AB.
Puisque cos ;) = cos A = x/AB = x/[;)(a²+x²)], l’éclairement sera :

[i/(a²+x²)][x/;)(a²+x²)]= ix/(a²+x²)^3/2

Pour chercher la valeur de x qui rend maximum cette expression, il faut remarquer que cette même valeur de x maximise aussi son carré i²x²/(a²+x²)^3

Négligeons le facteur constant i² et transformons l’expression suivante :
x²/(a²+x²)^3 = 1/(a²+x²)²(1-(a²/(x²+a²))) = (1/(a²+x²))²(1-(a²/(x²+a²)))

L’expression transformée est maximum en même temps que l’expression :
(a²/(x²+a²))²(1-(a²/(x²+a²))) où nous avons introduit le facteur constant a^4. En remarquant que la somme des premières puissances de ces facteurs (a²/(x²+a²)) + (1-(a/(x²+a²))) = 1 est constante, nous en déduisons que le produit considéré devient maximum quand :
(a²/(x²+a²))/(1-(a²/(x²+a²)))= 2/1

Nous avons donc l’équation a²= 2x²+ 2a² - 2a²
2x²-a²= 0 --> x = a/;)2 soit x = 0,7071067a

La ligne sera alors éclairée au maximum lorsque la source de lumière sera à une hauteur égale à 0,71 de la distance qui sépare la projection de la source et le livre.

Merci de votre intérêt.

Bouillon.