Calcul de l'aire d'une étoile pentagonale

[FSgraph]

Bonjour

Voilà j'ai un probléme sur lequel je :mur:

Je suis perdu dans les formlules de j'ai trouvé sur internet que je n'arrive pas à adapter ... De plus je ne sais pas si c'est faisable ...

Donc mon probleme est le suivant et je cherche à mettre ça dans Excel ...
Connaissant la surface d'une étoile pentagonale qu'elle est le diametre du cercle dans lequel elle s'inscrit ?

J'ai fait de gros progrés sur le nombre d'or, mais je suis encore à des années lumières de la solution ...

:marteau:

Merci

A+

FS :hum:

[wserdx]

A priori, tu n'es pas loin.
Si toutes tes étoiles sont homothétiques, la surface est proportionnelle au carré du diamètre, c'est-à-dire qu'il existe une constante
telle que

Tu as peut-être trouvé la surface pour , c'est alors la valeur de la constante .

[FSgraph]

Bonjour

Un petit dessin pour préciser mon probléme :



Il semble que je me soit mal exprimé ... Ce qui est connu c'est l'aire de l'étoile pentagonale et ce que je cherche c'est le diametre du cercle dans lequel elle s'inscrit ...

Plus je cherche et moins je trouve :crash:

Merci de votre aide ...

A+

FS

[busard_des_roseaux]

Il semble que je me soit mal exprimé ... Ce qui est connu c'est l'aire de l'étoile pentagonale et ce que je cherche c'est le diametre du cercle dans lequel elle s'inscrit ...

tu n'as pas compris la réponse (subtile )de wserdx.

je vais essayer de l'expliquer sans déformer sa pensée:

Il est clair que tous les dessins de cette forme (cercle+étoile) sont homothétiques entre eux,ie, qu'ils sont des agrandissements-réductions les uns des autres.
deux surfaces étoilées et quelconques sont homothétiques. Soit k le rapport d'homothétie:
:

les deux carrés qui ont pour côté le
diamètre sont dans le même rapport:


Interrogeons-nous maintenant:
Qu'est ce que l'aire d'un carré ? c'est "le carré du coefficient de proportionnalité entre la longueur de côté et la longueur de côté unitaire".
parce que la formule d'aire S=Largeur x Longueur est bi-linéaire.
(deux fois linéaire).

remarque: Pour cette raison, un carré d'aire est très simple et un carré d'aire est très compliqué
puisque son côté est dans le rapport avec le côté
unitaire.

Si maintenant, on prend pour , dans les formules ,
l'unité d'aire,ie, l'aire du carré unité, il vient:


et alors


on se débarasse de l'indice car et
sont à la même échelle et est indépendant de l'échelle.

conclusion
l'aire étoilée est proportionnelle à l'aire du carré de côté le diamètre.

[wserdx]

En fait, tout dépend de la formule que tu as trouvée.
S'exprime-t-elle en fonction du diamètre, du rayon, ou bien de la longueur de la branche, ou bien encore d'autre chose?

[FSgraph]

Bonjour

Ok je vois qu'il doit y avoir effectivement un coefficient de proportionnalité, mais je ne vois pas, mais alors pas du tout, la relation entre la longueur de la branche d'étoile et le diamètre :doh:

Peut-être parce que ma formule de calcul de la surface de l'étoile est pas la bonne :



M'a pas l'air simple du tout ce machin :dingue2:

A+

FS

[busard_des_roseaux]

re,

je fais la liste des sujets à connaitre

- nombres complexes (module,argument,formule d'Euler et de Moivre)
- racines 5ème de l'unité
- calculer avec un radical
- loi du cosinus dite aussi formule d'Al-Kashi
- nombre
- angle inscrit et au centre
- la formule de l'aire d'un triangle (Héron) et la classique base x hauteur/2
- aire parallélogramme ABCD= det

[beagle]

Peut-ètre que c'est plus facile de relier surface de l'étoile au rayon, plutot qu'au diamètre.
il y a quelques semaines il y a eu un exo sur pentagone régulier, sa surface selon le coté, la surface du pentagramme inclu dans le pentagone.
C'est tout plein de triangles isocèles dont on connait les angles et le rayon du cercle entourant l'étoile ou le pentagone est rapidement relié au coté du pentagone.

[FSgraph]

re,

je fais la liste des sujets à connaitre

- nombres complexes (module,argument,formule d'Euler et de Moivre)
- racines 5ème de l'unité
- calculer avec un radical
- loi du cosinus dite aussi formule d'Al-Kashi
- nombre
- angle inscrit et au centre
- la formule de l'aire d'un triangle (Héron) et la classique base x hauteur/2
- aire parallélogramme ABCD= det

Bonjour

Sérieux :doh:
Si oui, alors c'est mort ...
Il n'y a donc pas de formule "simple" de calcul d'un pentagramme

:help:

Il ne s'agit pas d'un DM mais d'une application perso ...

A+

FS :mur:

[beagle]

surface du pentagone régulier en fonction du coté,
c'est la surface de trois triangles isocèles, dont deux fois le mème, donc deux triangles isocèles d'angles connus...
La surface du pentagramme est surface du pentagone moins 5 fois le mème triangle isocèle.
Donc devrait ètre faisable surface du pentagramme fonction du coté du pentagone.
Le rayon du cercle est lui-mème fonction facile du coté du pentagone.

resterait à passer du rayon au diamètre ...

[Doraki]

Peut-être parce que ma formule de calcul de la surface de l'étoile est pas la bonne :



M'a pas l'air simple du tout ce machin :dingue2:

Bonjour, c'est quoi a ?

[beagle]

d'après ses messages a serait longueur de la branche de l'étoile,
mais comme ce n'était pas sur le dessin, perso je sais pas où c'est.
c'est pour cela que j'ai repris coté du pentagone,
mais cela peut peut-ètre s'exprimer plus vite avec a.

[FSgraph]

Salut



Le truc qui me manque c'est comment déduire une longueur utile pour découper le pentagramme en triangle rectangle en longueur connue, avec les formules à partir des angles que l'on connait, en ne partant que de la longueur de la branche VC ?

J'ai raté un truc chef :hum:

A+

FS :mur:

[abcd22]

Bonsoir,

Le truc qui me manque c'est comment déduire une longueur utile pour découper le pentagramme en triangle rectangle en longueur connue, avec les formules à partir des angles que l'on connait, en ne partant que de la longueur de la branche VC ?

On peut facilement calculer les valeurs des angles et en partant de en utilisant quelques propriétés de géométrie de collège. Ensuite, si on appelle H le point d'intersection de (VC) et (AB), il suffit d'utiliser la loi des sinus, par exemple d'abord dans le triangle BCV pour calculer BC, puis dans BHC pour calculer BH.

[abcd22]

l'aire étoilée est proportionnelle à l'aire du carré de côté le diamètre.

Mais comme son problème est de trouver le coefficient de proportionnalité ça n'avance pas à grand-chose.

[FSgraph]

Bonjour

Effectivement c'est l'idée qui m'est venue juste avant de lire ton post : faire un système de 2 équations à 2 inconnues.

On a :

VC = VH + HC

Et

Angle HVB = 18° et angle HCB = 36°

Une fois déduit HB c'est bingo ... C'est bien ça ?
Bon je vais 'y mettre ce soir ...

A+

FS

PS : 18° et 36° sont ils des angles remarquables ?

[abcd22]

Effectivement c'est l'idée qui m'est venue juste avant de lire ton post : faire un système de 2 équations à 2 inconnues.

Il n'y a pas besoin de système d'équations. On fait les calculs que j'ai dits dans mon premier post, ça donne HB = VC fois une constante. Ensuite on a aire de l'étoile = 5 × VC × HB, ce n'est pas compliqué d'en déduire le diamètre en fonction de l'aire.

PS : 18° et 36° sont ils des angles remarquables ?

Pas spécialement, c'est possible de calculer les valeurs exactes de leurs sinus et cosinus si on y tient mais je n'ai pas le courage de donner les détails des calculs maintenant (ça doit se trouver sur internet...).

[busard_des_roseaux]

bonjour,

l'aire étoilée vaut en fonction du rayon








içi
là

[FSgraph]

Salut

Ta formule donne : 2.24513 R²

Et avec la méthode de ABCD22 je trouve : 1.12253 R²

Je sais pas si on va y arriver un jour ...

A+

FS :cry:

[wserdx]

Bonjour,
Il y a juste un facteur 2 en trop dans la formule précédente.
La formule correcte est

Pour FSGRAPH:
Est-ce que tu peux nous faire un résumé de tes résultats et nous dire où tu en es? Est-ce qu'il te manque encore quelque-chose?