Devoir Maison: Fonctions variations et extremum

par **Nyfa** » 10 Oct 2009, 11:38

Bonjour !
Après avoir réussi (au bout de quelques heures de réflexions) mon exercice sur les barycentres, je bloque sur mon devoir maison (dur, dur la première s).

Je vous montre le premier exercice ?

EXERCICE 1 : On se propose d'étudier les variations de la fonctions Cube.
1) Vérifier l'égalité a^3 - b^3 = ( a - b )( a^2 + ab + b^2 )

Déjà, si je résolvais cette question, ça m'aiderais.
J'ai déjà essayé, mais le problème, c'est que je n'y arrive pas.
J'ai fait quelques calculs, mais rien de bien convaincant...
Ca m'aurait arrangé si ça avait été ( a^2 + 2ab + b^2 ) pour faire une identité remarquable, mais non !!

Quelqu'un peut m'aider ? Merci beaucoup d'avance.

par **uztop** » 10 Oct 2009, 11:40

Salut,

essaye de développer ( a - b )( a² + ab + b² )

par **Ericovitchi** » 10 Oct 2009, 11:40

il te suffit de développer

tu vas tomber sur

Edit : grillé grillé

par **Nyfa** » 10 Oct 2009, 11:57

C'est vrai, je ne suis pas très intelligente !
alors ( a - b )( a² + ab + b² ) = ( a^3 - b^3 ).
Merci beaucoup !

La deuxième question, c'est:
2) Soit a et b 2 Réels positifs tels que

a) Etudier le signe de l'expression a²+ab+b²
b) A l'aide de l'égalité précédente en déduire le signe de la différence a^3 - b^3.
c) Donner alors le sens de variation de la fonction cube sur [0; +infini[
_________

Mes réponses :
a)

(car la fonction carrée est croissante pour les nombres positifs)

Après, je ne sais pas...

par **Nyfa** » 10 Oct 2009, 12:18

Mais je suis bête !
On sait que a et b sont positifs, donc a² est positif, ab est positif et b² est positif...
Donc a²+ab+b² est positif !

b) signe de la différence

?
Je sais que

= ( a - b )( a² + ab + b² )
Or ( a² + ab + b² ) est positif
Et ( a - b ) est négatif car

Donc

est négatif !

C'est ça ?

par **uztop** » 10 Oct 2009, 12:21

on te demande d'étudier le signe, pas le sens de variation.
a est positif, b aussi, quel est donc le signe de ab ? Et le sine de a²+ab+b² ?

par **uztop** » 10 Oct 2009, 12:21

Nyfa a écrit:Mais je suis bête !
On sait que a et b sont positifs, donc a² est positif, ab est positif et b² est positif...
Donc a²+ab+b² est positif !

b) signe de la différence ?
Je sais que = ( a - b )( a² + ab + b² )
Or ( a² + ab + b² ) est positif
Et ( a - b ) est négatif car
Donc est négatif !

C'est ça ?

oui exactement, on a répondu en même temps

par **Nyfa** » 10 Oct 2009, 12:43

Donc j'ai trouvé, merci !
c)

donc

Les images sont rangées dans le même sens que les antécédents donc la fonctions cube est croissante sur [0;+infini[ !

3) Reprendre le raisonnement précédent avec a et b deux réels négatifs.
En déduire les variations de la fonction cube sur ]-infini;0]
4) Dresser le tableau de variation de la fonctions cube sur R.
-> Tout ça devient facile a présent, je devrais m'en sortir. Merci beaucoup, en tout cas !
A présent, le deuxième et dernier exercice (qui me pose problème aussi) !

EXERCICE 2
Voici l'énoncé :
http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=510141numerisation0001.jpg

Je pourrais avoir une piste, pour commencer, s'il vous plait ?

par **Ericovitchi** » 10 Oct 2009, 12:52

l'exercice te guide pas à pas. je ne vois pas où tu butes. Déjà tu as trouvé PQ=x+1/x. Tu es bien parti

par **Nyfa** » 10 Oct 2009, 12:58

Mais pour le b) , le vecteur PQ a pour coordonnées (0; x²/x) ?
Donc le vecteur PQ (0;x) ? Parce que si on simplifie x²/x, sa donne x, non ?

par **Ericovitchi** » 10 Oct 2009, 13:04

non tu t'es trompé P (x,-x) et Q(x, 1/x) donc la distance PQ vaut x+1/x
et x+1/x ça n'est pas x²/x c'est (x²+1)/x si tu veux absolument mettre au même dénominateur

par **Nyfa** » 10 Oct 2009, 13:08

D'accord, merci beaucoup. Donc le vecteur PQ a pour coordonnées (0;x+1/x) et la distance PQ = x+1/x.

Pour le c), je ne met aucune justification ?
Et les coordonnées de M, je les dis graphiquement ?

par **Ericovitchi** » 10 Oct 2009, 13:10

Tu construis le point M et tu donnes ses coordonnées (pas graphiquement), algébriquement.

par **Nyfa** » 10 Oct 2009, 13:23

c) M (x;x+1/x), c'est ça ?
d) je l'ai fait;

e) Conjecturer, ca veut dire estimer ?
Dans ce cas, c'est pour x=1, je crois.
C'est ça ? :)

par **Ericovitchi** » 10 Oct 2009, 13:26

Conjoncturer ça veut dire deviner oui.
Oui tu as bien deviné le minimum est pour x=1

par **Nyfa** » 10 Oct 2009, 13:28

Cool; merci

Alors, par contre, pour le 2), j'ai trouvé que f(1) = 2
Mais pour démontrer que f(x)-2

0, je fais comment ?!

par **Ericovitchi** » 10 Oct 2009, 13:38

tu étudies la fonction x+1/x - 2

(tu réduis au même dénominateur, tu repère un beau carré parfait, tu en déduis que c'est toujours positif, etc... )

par **Nyfa** » 10 Oct 2009, 13:40

J'ai trouvé ! Merci beaucoup, grace à toi, je n'ai passé qu'une heure sur mon DM au lieu de 5, et j'ai tout compris...
Je te remercie !

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