ReBonjour.
A moins que je ne passe à côté d'une évidence, l'exercice n'est vraiment pas facile.
J'ai montré que
était (presque) sans facteur carré :
les nombres premiers
tels que
où
est l'ordre de 2 modulo
, sont extrêmement rares. On n'en connaît que deux : 1093 et 3511 mais personne ne sait démontrer qu'il n'y en a pas d'autre.
(sur ce sujet, voir
http://mathworld.wolfram.com/WieferichPrime.html).
En revanche, pour tous les autres, on montre que l'ordre de 2 modulo
est
. Je te laisse ceci en exercice.
A partir de là, si
avec
,
. Donc
et
. L'ordre de 2 modulo
divise donc
, c'est-à-dire que
divise
. D'où
et
.
Un argument similaire à celui de mon précédent message montre que le deuxième plus petit nombre premier qui divise
doit être 7 et le suivant est supérieur à 43 (en fait, c'est forcément 43, 127, 337 ou 5419).
Voilà... donc pour l'instant,
est sans facteur carré (sauf peut-être pour 1093, 3511, et éventuellement quelques autres) et divisible par 21 (si
).