Nombres complexes

[Cerise-x]

Bonsoir à toi aussi !!

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O;;), le point A a pour affixe i (unité graphique : 3cm).
On nomme f l'application qui, à tout point M d'affixe z avec zi associe le point M' d'affixe z' telle que : z'= -[(z²)/(z-i)].
Le but de l'exercice est de construire géométriquement le point M' connaissant le point M.

1) Un exemple. On considère le point K d'affixe 1+i
a) Placer le point K.
b) Déterminer l'affixe du point K' image de K par f. J'ai trouvé zK'= -2i
c) Placer le point K'

2) Des points pour lesquels le problème ne se pose pas.
a) On considère le point L d'affixe i/2. Déterminer son image L' par f. Que remarque t-on ?
J'ai trouvé : zL'= (1/2)i et on remarque que L'= L.
b) Un point est dit invariant par f s'il est confondu avec son image. Démontrer qu'il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes. COMMENT FAIRE ?

3) Un procédé de construction. On nomme G l'isobarycentre des points A, M, et M' et g l'affixe de G.
a) Vérifier l'égalité g= 1/[3(z-i)].
Je suis partie de G{(A;a)(M;m)(M';m)} (ai+mz+m'z')/(i+m+m') mais je ne sais pas comment continuer ?
b) En déduire que : si M est un point du cercle de centre A de rayon r, alors G est un point du cercle de centre O de rayon 1/3r. COMMENT FAIRE ?
c) Démontrer que Arg g = -(;) COMMENT FAIRE ?
d) Placer un point D sur le cercle de centre A et de rayon 1/2
On nomme D' l'image de D par f. Déduire des questions précédentes la construction du point D' et la réaliser sur la figure.

Voilà. J'aimerais que vous me vérifiez mes réponses et que vous me donniez des pistes pour la question 2)b) et toute la 3) s'il vous plaît. Je ne veux pas de réponse directe, mon but est de comprendre =) Merci d'avance pour votre aide.

[Jonny]

Salut
Quelques éléments de réponses :
Pour la 2b, tu cherches les points M tels que leur point image M' par f leur soit confondu.
Autrement dit, en terme d'affixe, z=z'. Tu as une équation, qui devrait normalement avoir deux solutions.

Pour la 3b, comment s'écrit l'affixe d'un point appartenant au cercle de centre A et de rayon r ? (Pense à l'écriture en polaire)
Utilise ensuite l'égalité du dessus avec g, et ca devrait aussi marcher.

Pour la 3c, regarde comment on calcule un argument dans ton cours, et surtout visualise le truc dans le plan. Si tu vois pas de quoi je parle, dis le, je ferai un schéma pour expliquer.

[Cerise-x]

Pour la question 2)b) j'ai résolu l'équation z = -[(z²)/(z-i)] comme vous avez dit, et :
pour le point K et K' j'ai trouvé : z = -[(z²)/(z-i)] <=> 4i =0
pour le point L et L' j'ai trouvé : z = -[(z²)/(z-i)] <=> (-1/2)=0

Les résultats me paraissent bizarres...

Pour la 3)b) G(teta; r). Donc je dois calculer teta et r ?
r= racine(x²+y²)

3)c) Pour calculer un argument on fait :
cos (teta)= x/r
sin (teta)= y/r
Mais quel rapport avec les vecteurs u et AM dans la question ? Je ne comprend pas et je n'aboutis à rien...je veux bien un schéma. merci à vous de bien vouloir m'aider =)

[Jonny]

C'est bien l'équation à résoudre oui. Mais tu dois trouver z=... ou z=...
Je vois pas comment tu arrives à 4i=0, détailles tes calculs.

La 3b, je suis peut être allé un peu vite. Ne t'occupe pas de G, mais cherche plutôt à traduire les conditions sur M (il appartient au cercle de centre A de rayon r) sur son affixe z.
Est ce que tu as vu l'écriture z=pe^ia avec p le module et a l'argument ? (e étant l'exponentielle complexe) ?
Si oui, alors tu peux trouver une écriture simple de l'affixe d'un point M quelconque du cercle. Sinon, il va falloir se trainer des cos et des sin dans l'écriture classique a+ib (ce qui revient au même).

Pour la 3c), tes formules sont justes en faisant attention aux signes de x et y.
Tu parles de u et AM ? u c'est quoi ?
Réécris la question "Démontrer que Arg(g) = ..." parce que tu as du mal recopier (;). Normalement, c'est une expression en fonction de z. Et tu devrais pouvoir calculer ça grâce à l'égalité en début de question g=...

Quant au schéma, c'était pour illustrer l'argument dans le cas général, mais visiblement tu as compris. Je poste quand même :
schéma
Avec ce schéma tu vois les relations entre module, argument, partie réelle, partie imaginaire. (avec pythagore et les formules de trigo classiques dans un triangle rectangle.)

Et tu peux me tutoyer

[Cerise-x]

Oui effectivement je me suis trompée parce que j'ai remplacé z par x+iy alors qu'il ne faut pas. donc j'ai résolu l'équation z = -[(z²)/(z-i)] quelque soit z complexe différent de i et ça donne : z=0 (affixe de O l'origine du repère) et z= i/2 (affixe de L)

Pour la 3)b) je n'ai pas encore vu le chapitre sur les exponentielles mais j'ai vu une méthode pour calculer le module et un argument de z avec les cos et les sin. Donc il faut que je simplifie l'écriture de l'affixe du point M en calculant le module et l'argument ? Puis ensuite remplacer m' par son résultat dans la formule de g=... ?

Ah oui effectivement il y a un problème, je réécris la question : c) Démontrer que Arg g = -(vecteur u ; vecteur AM). Cela n'aurait-il pas un rapport avec l'éagalité Arg(zM-zA)= (vecteur u ; vecteur AM) ?

Pour la question 3)d) je place le point D n'importe où sur le cercle ? et dans ce cas l'affixe de D dépendra de l'endroit où j'ai placé le point ?

D'accord je te tutoierai dans ce cas :)

[Jonny]

Ok, pour l'équation c'est bien ça

Pour la 3b, oublie les histoires de module et d'argument, c'était un moyen d'y voir clair avec l'exponentielle, mais si tu l'as pas vue, tant pis.

Dans ton cours, as tu quelque chose du genre "Un point M appartient à un cercle de centre A et de rayon r ssi son affixe ..."
Autrement dit, peux tu traduire le fait que M appartienne au cercle de centre A de rayon r ? (sur son affixe z)

Cela n'aurait-il pas un rapport avec l'égalité Arg(zM-zA)= (vecteur u ; vecteur AM) ?

Si ! Tu peux utiliser cette égalité. Tu n'as plus qu'a calculer Arg(g) grâce à l'égalité dans le début de la question. Regarde si ca fait bien -arg(z-i), et c'est bon ! (dans ces conditions, oublie les formules avec cos, sin etc.. Tu n'en as pas besoin ici)

Pour la question 3)d) je place le point D n'importe où sur le cercle ? et dans ce cas l'affixe de D dépendra de l'endroit où j'ai placé le point ?

Oui, tu mets D où tu veux sur le cercle.
Tu as voulu dire l'affixe de D', l'image de D par f non ?
Dans tous les cas, l'affixe de D dépend de la position de D, évidemment, et l'affixe de D' dépend de la position de D, puisqu'il dépend de l'affixe de D.
Le coup de la construction, je t'avoue que je vois pas directement. Fais toi une figure, place D quelconque sur le cercle. Construis G (tu as son argument et son module), puis déduis en la position de D' grâce aux propriétés de l'isobarycentre (même distance des points...)