Nombres complexes

[sasuke22]

Bonjour,je suis actuellement en terminale S et j'ai du mal à résoudre un exercice sur les nombres complexes.
Voici cet exercice:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(o,u,v).
Soit A le point d'affixe zA=-i.On appelle f l'application qui à tout point M du plan complexe,distinct de A,d'affixe z,associe le point M' d'affixe z'=(iz-2)/(z+i).On dit que M' est le point image de M par l'application f.

1)Déterminer l'affixe du point image de O par l'application f.
2)Calculer l'affixe du point B ayant pour image par f le point B' d'affixe 1.Donner la forme algébrique de cette affixe.
3)Déterminer les points invariants de f(on rappelle qu'un point invariant par f est un point M tel que M=M').
4)Démontrer que si z est un imaginaire pur différent de -i alors z' est un imaginaire pur.
5)Déterminer l'ensemble des points M pour lesquels z' est un réel.
6)a)Développer l'ensemble (z+i)^2.Factoriser alors z^2+2iz-2
b)Déterminer l'ensemble des points M tels que M' soit le symétrique de M par rapport à O.

Voici mes résultats:
1)z0=0+i0
z0'=iz0-2/z0+i=-2i
2)zb'=izb-2/zb+i
1=izb2/zb+i
1*(zb+i)=izb-2
zb+i/i=zb-2 je suis bloqué ici.

Merci d'avance pour votre aide.

[mathelot]

bonjour,

tu es dans un corps, celui des complexes.
on peut donc additionner, multiplier , diviser.

par exemple l'équation

se résoud



ça marche, même si a et b sont des nombres complexes (a non nul)

[sasuke22]

pour la 2)je trouve zb'=izb-2/zb+i ... d'où zb=(i+2)/(i-1)=-3/2+i*1/2
c'est juste?
3)j'ai du mal avec la question 3

[mathelot]

pour la 2)je trouve zb'=izb-2/zb+i ... d'où zb=(i+2)/(i-1)=-3/2+i*1/2
c'est juste?

Ich weiss nicht.
sur le web, tu dois pouvoir trouver un logiciel qui fait les calculs
en complexes et vérifier si la valeur trouvée est solution

3)j'ai du mal avec la question 3

on fait z'=z (point invariant)
en chassant les dénominateurs dans l'équation , ça donne du degré 2
avec complexe.
Il doit falloir en extraire la racine carrée. Dans tout complexe est un carré parfait, ce corps a été construit pour ça.
Par contre, il n'y a plus de relation d'ordre cpmpâtible avec les
opérations (évidemment il reste l'ordre lexicographique mais il ne sert pas à grand-chose içi)

donc trouver tq

[sasuke22]

je n'ai pas encore étudié les équations du second degré avec les nombres complexes en cours donc je pense que ce doit être une autre réponse pour la 3)

[busard_des_roseaux]

je n'ai pas encore étudié les équations du second degré avec les nombres complexes en cours donc je pense que ce doit être une autre réponse pour la 3)

c'est

[sasuke22]

pour la 3)je trouve finalement z=(iz-2)/(z+i) z^2=-2=2*i^2 z=i*racine 2 ou z=z=-i*racine 2
pour la 4)si z=i*racine 2 alors z'=i*racine 2 ou si z=-i*racine 2 alors z'=4i+3i*racine 2 c'est juste?

[sasuke22]

pour la 4)je crois que c'est z'=(i^2b+2i^2)/(i(b+1))=(ib+2i)/(b+1)=i(b+2)/(b+1)