Groupes

[Watchmen]

Bonsoir,
Je dois montrer que les isométries planes laissant un carré globalement invariant forment un groupe pour la loi de composition °, noté D8, qui est composé de 4 symétries S1,S2,S3,S4 et de 4 rotations Id,R1,R2,R3 (R1 est d'angle Pi/2).

NB : Je ne suis pas là pour attendre une réponse toute faite mais au contraire comprendre l'exo à l'aide d'un coup de main.

Merci.

[Nightmare]

Salut !

Le milieu de carré est conservé ! A partir de là il n'y a plus qu'un seul point à considérer pour trouver nos isométries.

Concernant les rotations, on examine 4 cas :

si elle envoie A sur A, c'est l'identité
si elle envoie A sur B c'est une rotation d'angle 3pi/2
si elle envoie A sur C, c'est une symétrie de centre le centre du carré
si elle envoie A sur D, c'est une rotation d'angle pi/2.

On procède de même avec les symétries orthogonales, je te laisse faire :happy3:

[Watchmen]

Rotation par rapport à quoi ? Le centre du carré si c'est cela je suis d'accord pour le 1er cas, elle envoie A sur A c'est bien l'identité.
Mais si elle envoie A sur B c'est une rotation d'angle Pi/2 non ?
A sur C ok, on peut aussi dire rotation d'angle Pi.
Et si elle envoie A sur D il me semble que c'est une rotation d'angle 3Pi/2

Sinon je ne comprends pas l'intérêt de cette question et ce qui est à démontrer clairement.

[Finrod]

Pour le conflit (Pi/2) (3Pi/2), ça dépend des notations (de la position de C et B ) pour lesquelles il y a deux choix.

Pour l'intérêt , ce groupe là précisément est très important en théorie des groupes, c'est notamment un des premiers exemples (non trivial) de produit semi-direct.

Au niveau des applications pratiques, tu peux par exemples déterminer une isométrie en regardant les formes géométriques qu'elle conserve. Une rotation qui conserve un carré sera de la forme précédente.
Une rotation qui préserve un pentagone aura un angle multiple de 2Pi/5... etc en changeant le nombre de côté.

[Watchmen]

Pour les symétries S1,S2,S3,S4 je dis quoi ? c'est par rapport à quoi d'ailleurs ? Mais je pense qu'il s'agit des deux diagonales du carré et des droites, une passant par les milieux de AB et CD l'autre passant par les milieux de AC et BD.

[Watchmen]

Je remet à jour car je n'ai pas eu de message depuis hier. :id:

[arttle]

Si j'ai bien compris l'exercice tu doit vérifier que ton ensemble est stable pour la composition des applications.

En gros il faut se demander se qu'est une composition de :
- deux rotations
- de deux symétries orthogonales
- d'une rotation et d'une symétrie
- d'une symétrie et d'une rotation.

J'espère que cela t'a un peu aider.

[Watchmen]

Oui j'avais compris que je devais composer et montrer que la figure est stable par loi de composition interne, donc j'ai pensé à construire sa table muni de la loi o.
Mais justement ce qu'on demande à la question suivante, donc je ne vois pas quoi faire.

[arttle]

Si dans la prochaine question tu dois construire le tableau de la loi, je pense que l'exercice est du style:
Je dégrossie en me demandant quelle sera la forme des compositions et ensuite je les calcule explicitement.

En gros dire pourquoi, par exemple, la composée de deux rotations est une rotation.

[Watchmen]

Une autre réponse un peu plus constructive ?

[yos]

Pas question de lister les iso qui laissent stable le carré et de montrer ensuite qu'elles forment un groupe!

Ce serait passer à côté de l'exo.

Les isométries qui laissent invariant une figure quelconque (F) forment un groupe de façon évidente : Si f et g laissent stable (F), alors fog et aussi. Et c'est fini pour la première partie de la question (on montre en fait que c'est un ss-groupe du groupe des isométries du plan).

Ensuite on liste. Comme l'a dit Nightmare, le centre du carré est invariant et les sommets sont envoyés sur des sommets, d'où 4 images possibles pour A. Par ailleurs il y a exactement deux isométries envoyant deux points donnés I et J (distincts) sur deux pts donnés I' et J' tels que IJ=I'J' (un déplacement et un antidéplacement). Tu as ta liste car .

[Watchmen]

Mais pour les symétries c'est par rapport à quoi ? J'en vois deux c'est les diagonales.

[yos]

je pense qu'il s'agit des deux diagonales du carré et des droites, une passant par les milieux de AB et CD l'autre passant par les milieux de AC et BD.

AD et BC pour la dernière

[Watchmen]

Okay sans problèmes.
Mais maintenant il faut que je montrer que D8 est engendré par S1 et R1.

[arttle]

Attention, je vais prendre la mouche si tu dis que mon intervention n'est pas constructive...

Merci de respecter un peu plus ceux qui donne du temps pour te rendre service.