Espace métrique point limite

[hola]

Bonjour.

J'ai un exercice à faire et je bugue sur certaines questions. Pouvez-vous me donner un coup de pouce svp?

Soient un espace métrique (X,d) et un ensemble E inclus dans X. Montrer que E est d-fermé si et seulement si il contient tous ses points limites.

J'ai réussi à montré pour d-ouvert avec les points intérieurs. Mais pour celui-là j'avoue que je ne sais quoi faire.

Merci d'avance.

[Finrod]

Par définition E est fermé si . Autrement dit si les points de x de E sont caractérisés par le fait que pour tout ouvert U contenant x, U intersecte E\{x}.

Les points limites sont les limites des suites dee points de E, convergentes dans l'espace total (dont E est censé être un fermé).

A partir de là, il faut montrer que la limite d'une telle suite vérifie la propriété ci dessus et est donc bien dans .
Réciproquement, il faut montrer que tout point de est la limite d'une suite convergente de points de E en utilisant la propriété plus haut avec une suite de boules de rayon décroissant.