Implication d'ensembles

[wak]

Bonjour,

J'aimerais bénéficier de votre aide sur cet exercice:


montrer que { A u B = A u C et A n B = A n C} implique que B = C





Pour se faire, j'ai utilisé cette démarche :

Montrons que B est inclut dans C:

On a A u C = A u C
donc B n (A u B) = B n (A u C)
(B n A) u (B n B) = B n (A u C)
Comme A n B = A n C on obtient: (A n C ) u B = B n (A u C)

Alors B est inclut dans C

Montrons que C est inclut dans B : (même raisonnement que précédemment)


Conclusion: B est inclut dans C et C est inclut dans B donc B = C





Merci de bien voulloir m'éclairer :)

[isortoq]

Le "Alors B est inclus dans C" me trouble... ça ne me saute pas aux yeux.

On a :

B = (A u B) n B = (A u C) n B = (A n B) u (C n B) = (A n C) u (B n C)
= (A u B) n C = (A u C) n C = C

[wak]

D'accord, c'est parce que la consigne demandait de faire la démonstration par une double inclusion, donc mon raisonnement est faux ?

[isortoq]

C'est-à-dire que je ne comprends pas pourquoi l'égalité :

(A n C ) u B = B n (A u C) entraine que B est inclus dans C...

Quel argument invoques-tu ?

[wak]

Et bien, je pensais que c'était une sorte d'axiome, que c'était logique :/

[isortoq]

On peut aussi le faire en considérant les éléments des ensembles en question :

Soit x un élément de B ; alors x est dans A u B et donc dans A u C. Si x est dans C c'est bien ; s'il est dans A, il est dans A n B et donc dans A n C. Par conséquent x est dans C. On a ainsi montré que B est inclus dans C.