Formule cosinus

par **Edward** » 04 Oct 2009, 11:07

Bonjour,

J'ai un petit : je n'arrive pas à calculer : produit de k = 1 à n des cosinus (1/k). J'ai essayé 2,3 trucs (utiliser la formule sin(2x) = sinx cosx par exemple) mais je n'arrive à rien... je dois louper quelque chose.

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

par **skilveg** » 04 Oct 2009, 11:10

Salut,

Il vient d'où cet exo? Tu es sûr que ce n'est pas plutôt quelque chose du genre

?

(Par ailleurs ta formule est incorrecte en général, c'est

.)

par **Edward** » 04 Oct 2009, 11:14

J'oublie toujours le 2 dans la formule...

Sinon oui je suis sur que c'est cos(1/k).

par **skilveg** » 04 Oct 2009, 11:29

Il ne me semble pas qu'il y ait de forme simple... Tu l'as trouvé où cet énoncé?

par **Edward** » 04 Oct 2009, 11:40

Un exercice sur les séries : je doit trouver la nature de la série de terme général
ln ( cos (1 / n ) ).

Si on écrit l'expression de la some partielle on peut utiliser la formule
ln(a) + ln(b) = ln(a*b), et on se retrouve avec ln du produit que je cherche.

En fait il suffirait de montrer que le produit en question tend vers une limite non nulle.

par **skilveg** » 04 Oct 2009, 11:44

Je pense que ce n'est pas la bonne méthode (tu ne trouveras pas de forme simple pour ton produit); le mieux est de faire un développement asymptotique du terme général de ta série quand

tend vers l'infini.

par **Edward** » 04 Oct 2009, 11:47

Je ne vois pas comment ça m'aide à conclure. Comment je repasse à ma série une fois le DA établi ?

par **skilveg** » 04 Oct 2009, 11:58

Dans ton cours tu as des théorèmes de sommation des relations de comparaison qui permettent de savoir si une série converge ou pas en regardant le DA du terme général.

par **Edward** » 04 Oct 2009, 12:16

Comme DA je trouve

.
Si j'ai bien compris je dois trouver un grand tau d'une suite dont la somme partielle converge, c'est ça ?

par **skilveg** » 04 Oct 2009, 12:30

Si c'est le bon développement asymptotique, tu as terminé: si

où

est sommable, alors

est sommable (écrire la définition du grand O). Et comme on sait ce qui se passe pour

...

par **Edward** » 04 Oct 2009, 12:33

Justement c'est sur le 1 / n^2 que je bloque...

par **Ericovitchi** » 04 Oct 2009, 13:30

Pour info

Et

par **skilveg** » 04 Oct 2009, 13:35

Edward, qu'est-ce que tu peux dire de la série

?

par **Edward** » 04 Oct 2009, 13:45

Je suppose que je devrais répondre convergente mais je vois pas trop pour quoi ...

par **skilveg** » 04 Oct 2009, 13:53

Un argument-massue: c'est une série de Riemann. Un argument plus léger: on a

, qui donne une série télescopique.

par **Edward** » 04 Oct 2009, 14:02

Pas bête du tout ! Merci pour ta patience Skilveg :++:

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