Division euclidienne

[mwa_16]

Bonjour j'ai un exercice ou je dois trouver le reste de la division de X^n par (X-a),(X-1)(X-2),
(X+1)^3.

Pour le premier je trouve les reste égal à a^(n+1) est ce que cela vous semble juste?
et je n'arrive pas à trouver les autres restes est ce que quelqu'un peut m'aider? merci davance.

[skilveg]

Salut,

Pour le premier, je pense que c'est incorrect (mais je peux me tromper): le reste de la division euclidienne d'un polynôme par est .

Pour les autres, je te conseille d'écrire en toutes lettres la division euclidienne (par exemple dans le second cas ) et d'évaluer en certains points bien choisis pour faire apparaître un système permettant de trouver et . Dans le troisième cas, ça ne va pas marcher directement, il va falloir dériver.

[Edit: le reste de la division par est bien et pas , pardon pour le lapsus... Et le deuxième lapsus a aussi été corrigé]

[Zavonen]

écrire X^n=(X-a)q(X)+r(X) et faire X=a donne tout de suite le reste qui est une constante.

[mwa_16]

Merci mais comment vous savez que le reste de la division euclidienne d'un polynôme X^n par(X-a) estP'(a)? C'est un théorème?

[skilveg]

C'est à cause des formules de Taylor (qui marchent d'ailleurs dans le dernier cas), ou alors tu peux le voir par la méthode directe (écrire explicitement, ...).

[Edit: l'erreur du message précédent a été corrigée]

[mwa_16]

lorsque j'utilise la formule de taylor je trouve na^(n-1) et avec la méthode direct je trouve a^n donc il y a un problème! quel est mon raisonnement faux ?

[skilveg]

Ton premier raisonnement était bon, j'ai corrigé mon lapsus du premier message.

[skilveg]

J'ai corrigé mon deuxième lapsus. Sinon, pour les deux premières questions, le plus simple ça reste encore l'écriture explicite et l'identification. Pour la deuxième on peut éventuellement être plus malin en écrivant .