Nombre de topologies

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girdav
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Nombre de topologies

par girdav » 30 Sep 2009, 17:03

Bonjour.
Au cours d'un de mes TD de topologie, il a été demandé de construire toutes les topologies possibles d'un ensemble à deux éléments.
Je me suis demandé si il était possible de savoir combien de topologies on peut construire à partir d''un ensemble à éléments.
Avez-vous une réponse concernant la solubilité de ce problème?



Zavonen
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par Zavonen » 01 Oct 2009, 11:06

Une topologie sur un ensemble E est un élément de P(P(E)).
Dans le cas où E est fini de cardinal n les candidats sont donc (a priori) au nombre de
(2^(2^n)).
Cela croit très, très vite ...
Cependant.
Dans le cas ou E est fini l'axiome d'intersection dénombrable pour les ouverts, se réduit à l'axiome d'intersection tout court.
Une topologie (famille des ouverts) sur un ensemble fini E est donc un élément de P(P(E))
contenant l'ensemble vide et E
stable par intersection et réunion (quelconques).
Pour tester un 'candidat' il suffit de regarder les singletons qu'il contient.
Cela te suffit-il ?

girdav
Membre Complexe
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par girdav » 01 Oct 2009, 20:50

D'accord, donc il faut que je regarde celle qui contiennent singletons, avec .
Les cas et ne sont pas difficiles.
Quand il n'y a pas de singleton il faut que je regardes les -uplets car par exemple est une topologie sur ().
Je vais essayer de poursuivra avec ceci.

Zavonen
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par Zavonen » 02 Oct 2009, 05:09

J'ai été un peu vite...
Si une topologie contient les singletons
{x1}, .... ,{xp} alors elle contient P({x1, ...,xp}) (et l'ensemble entier, bien sûr).
Je croyais, a priori, qu'elle se limitait à cela, mais pas forcément.
Rien n'empêche, qu'elle contienne en plus une partie X qui n'est pas un singleton et qui contienne un point qui n'est pas un des points x1, ..,xp.
Donc c'est plus compliqué que cela.

Finrod
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par Finrod » 02 Oct 2009, 06:33

Angélique à l'air assez proche de la vérité. Après tout dépend de la séparabilité des points. Si la topologie est séparée, il n'y a qu'une seule possibilité, c'est la topologie discrète. Dans le cas général, je pense qu'il faut dessiner un graphe (n-1)-dimensionnel (pour chaque topologie) :

Les points sont les points de E, si deux points ne sont pas séparés, ils sont reliés par une arête. Si trois points ne sont pas séparés (la top induite sur ces 3 pts est triviale), alors on rempli le triangle. Si 4 pts ne sont pas séparés, on rempli un tétraèdre...

Au dela de la dimension 3, on ne peut plus faire de dessin.

Alors, pour peu que chaque graphe corresponde bien à une seule topologie (ce que je crois), cela ramène le problème à dénombrer les CW-complexes à n-sommets, de dimension (n-1).

Pour n gros, c'est coton.

yos
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par yos » 02 Oct 2009, 17:49

Bonsoir.

Si n=2, E={a,b}, P(E) est de cardinal 4, mais il n'y a pas 16 topologies sur E. Déjà, dans une topologie, deux éléments de P(E) doivent figurer (vide et E), donc il y a au plus 4 topologies. On regarde et on voit qu'il y en a effectivement quatre :
{V,E}, {V,E,{a}}, {V,E,{b}} et P(E). (V est mis pour vide)

Si n=3, E={a,b,c}, P(E) est de cardinal 8, dont seulement six éléments à discuter pour faire une topologie. Ce qui fait au plus 64 topologies. En réalité beaucoup moins car on veut la stabilité par inter et union. Je compte (faudrait vérifier) :
- 1 topo à 2 éléments,
- 6 topo à 3 éléments,
- 9 topo à 4 éléments,
- 6 topo à 5 éléments,
- 12 topo à 6 éléments,
- 0 topo à 7 éléments,
- 1 topo à 8 éléments.
Soit 35 topologies en tout.

Si n=4, je passe mon tour...

yos
Membre Transcendant
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par yos » 02 Oct 2009, 18:33

J'ai compté trop vite car pour n=3, c'est 29 la bonne réponse.
Pour n=4, c'est 355.
Voir Sloane A000798

girdav
Membre Complexe
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par girdav » 02 Oct 2009, 18:49

Merci yos et tous les autres d'ailleurs.
Il me semble que le problème que je me suis posé m'est hors de portée. j'essaierai de demander à mon prof, pour savoir si le problème est soluble ou non.

skilveg
Membre Relatif
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par skilveg » 02 Oct 2009, 19:04

Bonsoir,

Il m'a semblé entendre sur un autre forum que ce problème était ouvert, à voir...

L'article de Sloane semble aller dans ce sens.

arttle
Membre Naturel
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Enregistré le: 28 Sep 2009, 21:31

par arttle » 03 Oct 2009, 09:55

J'ai repris l'idée des ouverts fondamentaux de Angelique 64.
Mais je me retrouve bloqué. Je vous explique.

Je me propose de dénombrer les topologies par récurrence.
Je prends un ensemble E fini à n+1 élément muni d'une topologie, je prend x dans E, et je considère la topologie induite par E sur E\{x}.
J'en déduit que l'ouvert fondamental de x dans E et une union d'ouverts fondamentaux de E\{x} union {x}
Le problème qui se pose à moi est que la notion d'ouvert fondamental n'est pas assez forte car deux unions d'ouverts fondamentaux différents peuvent être égale. Donc je ne peux pas dire qu'il y aura 2^m topologies sur E qui auront la même topologie induite sur E\{x}, m étant le nombre d'ouverts fondamentaux de E\{x}.

Si vous avez une idée elle sera la bienvenue :)
Je vous tiens au courant des mes avancées

Zavonen
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par Zavonen » 03 Oct 2009, 20:54

Voici un lien qui pourra te faire avancer.
Un article intéressant

 

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