par yos » 02 Oct 2009, 17:49
Bonsoir.
Si n=2, E={a,b}, P(E) est de cardinal 4, mais il n'y a pas 16 topologies sur E. Déjà, dans une topologie, deux éléments de P(E) doivent figurer (vide et E), donc il y a au plus 4 topologies. On regarde et on voit qu'il y en a effectivement quatre :
{V,E}, {V,E,{a}}, {V,E,{b}} et P(E). (V est mis pour vide)
Si n=3, E={a,b,c}, P(E) est de cardinal 8, dont seulement six éléments à discuter pour faire une topologie. Ce qui fait au plus 64 topologies. En réalité beaucoup moins car on veut la stabilité par inter et union. Je compte (faudrait vérifier) :
- 1 topo à 2 éléments,
- 6 topo à 3 éléments,
- 9 topo à 4 éléments,
- 6 topo à 5 éléments,
- 12 topo à 6 éléments,
- 0 topo à 7 éléments,
- 1 topo à 8 éléments.
Soit 35 topologies en tout.
Si n=4, je passe mon tour...