[TS] Nombres Complexes

par **alilidu59** » 23 Sep 2009, 18:21

Bonsoir , j'ai 3 exercices sur les nombres complexes. J'en ai déjà fais 2 mais je bloque sur le troisième. Pouvez vous m'aider Svp ?

Voilà l'énoncé :

Soit M, M' et M'' les points du plan complexe d'affixes respectives : z, z+i et iz.

1/ Pour quel nombre complexe z a-t-on M'=0, origine du repère ? Pour quel nombre a-t-on M'=M'' ?

2/a. On suppose z distinct de 0, de -i et (1-i)/2

Prouver que les points O, M' et M'' sont alignés si et seulement si (z+i)/iz est un nombre réel.

2/b. On pose x= Re(z) et y=Im(z), avec z différent de 0.

Calculer Im ((z+i)/iz) en fonction de x et de y.

3/ Déterminer et représenter l'ensemble E des points M tels que O, M' et M'' sont deux à deux distincts et alignés.

Pour la question 1. Je sais que pour avoir M'=0 , il faut que z+i=0 mais ensuite je ne vois pas trop ce qu'il faut faire.
Pouvez vous m'éclairer Svp
Merci d'avance

par **Sa Majesté** » 23 Sep 2009, 18:54

Salut
z+i=0 c'est une équation dont z est l'inconnue
Pareil pour M'=M'', ça fait z+i=iz et il faut trouver z

par **alilidu59** » 23 Sep 2009, 19:32

Pour M'=0
z+i=0
a+ib+i=0
a+i(1+b)=0
Il faut que le réel et l'imaginaire soient égals à 0.
Donc a=0 et i(1+b)=0
1+b=0
b=-1

Le nombre complexe recherché est z=-i .

Pour M'=M''
z+i=iz
a+ib+i=+(a+ib)
a+i(b+1)=i(a+ib)

Mais là je suis bloquée. Merci d'avance pour votre aide

par **Sa Majesté** » 23 Sep 2009, 19:41

alilidu59 a écrit:Pour M'=0
z+i=0
a+ib+i=0
a+i(1+b)=0
Il faut que le réel et l'imaginaire soient égals à 0.
Donc a=0 et i(1+b)=0
1+b=0
b=-1

Le nombre complexe recherché est z=-i .

La réponse est bonne mais il te faut 5 lignes pour passer de z+i=0 à z=-i ...

alilidu59 a écrit:Pour M'=M''
z+i=iz
a+ib+i=+(a+ib)
a+i(b+1)=i(a+ib)

Mais là je suis bloquée. Merci d'avance pour votre aide

Il faut faire comme dans IR (factoriser etc ...)
z+i=iz ça donne z(i-1)=i d'où z= ...

par **alilidu59** » 23 Sep 2009, 19:57

[quote="Sa Majesté"]La réponse est bonne mais il te faut 5 lignes pour passer de z+i=0 à z=-i ...

Pour moi , il est logique que z=-i donc je ne vois pas quelle étape il me manque :marteau:

par **Sa Majesté** » 23 Sep 2009, 20:03

Ce que je veux dire c'est que tu peux passer directement de z+i=0 à z=-i
Tu es passé par z=a+ib, c'est beaucoup plus long
Au final tu trouves la bonne réponse mais en plus de temps

par **alilidu59** » 23 Sep 2009, 20:12

Sa Majesté a écrit:
Il faut faire comme dans IR (factoriser etc ...)
z+i=iz ça donne z(i-1)=i d'où z= ...

z= i/(i-1)

Merci de ton aide . Je planche sur la question 2 et je viens poster pour savoir ton avis.
Merci

par **Sa Majesté** » 23 Sep 2009, 20:19

Oui z=i/(-1+i)

Sauf que en général on ne laisse pas un nb complexe sous cette forme (a+ib)/(c+id)
Il faut multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur (-1-i) pour obtenir un dénominateur réel et non pas complexe

par **alilidu59** » 23 Sep 2009, 20:22

Pour la question 2 ,

a/ Pour que les points O , M' et M" soient alignés, il faut que les vecteurs soient colinéaires.
Donc vect OM' = k vect OM"
z+i = k.iz
Et comme k est réel, k=(kiz)/iz

b/ alors là ... je bloque !

Ai-je bon pour le a et comment faire le b ?

Merci

par **Sa Majesté** » 23 Sep 2009, 20:38

D'abord lis mon message précédent pour compléter ta réponse pour M'=M''

Ensuite le a est bon mais il faut le rédiger différemment
O, M' et M'' sont alignés ssi il existe k réel tel que vect OM' = k vect OM''
ssi il existe k réel tel que z+i = k iz ssi (z+i)/iz est réel

Pour le b, tu remplaces z par x+iy

par **alilidu59** » 23 Sep 2009, 20:44

Sa Majesté a écrit:Oui z=i/(-1+i)

Sauf que en général on ne laisse pas un nb complexe sous cette forme (a+ib)/(c+id)
Il faut multiplier en haut et en bas par le conjugué du dénominateur (-1-i) pour obtenir un dénominateur réel et non pas complexe

Ok , donc z=i/(i-1)
= (i(-i-1) / ((i-1)(-i-1)))
= (-i²-i) / (-i²-i+i+1)
= (1-i) / 3

par **Sa Majesté** » 23 Sep 2009, 20:45

Petite erreur de calcul ...

par **alilidu59** » 23 Sep 2009, 20:53

Sa Majesté a écrit:Petite erreur de calcul ...

Effectivement,

z= (1-i)/2

par **Sa Majesté** » 23 Sep 2009, 20:56

Oui et d'ailleurs tu peux vérifier tes réponses au 1 puisque au 2a on te dit "On suppose z distinct de 0, de -i et (1-i)/2"

par **alilidu59** » 23 Sep 2009, 21:00

Sa Majesté a écrit:Oui et d'ailleurs tu peux vérifier tes réponses au 1 puisque au 2a on te dit "On suppose z distinct de 0, de -i et (1-i)/2"

Effectivement, Merci Beaucoup !

Pour la question 2.b , (z+i) / iz
((x+iy) / i(x+iy))
((x+iy) / (ix+i²y))
(x+iy) / (ix-y)

par **Sa Majesté** » 23 Sep 2009, 21:18

Attention : z+i = x+iy+i

Ensuite tu multiplies comme tout à l'heure par la conjugué du dénominateur

par **alilidu59** » 23 Sep 2009, 21:30

Sa Majesté a écrit:Attention : z+i = x+iy+i

Ensuite tu multiplies comme tout à l'heure par la conjugué du dénominateur

(x+iy+i) / i(x+iy)
= ((x+iy+i)(x-iy) / i(x+iy)(x-iy))
= (x²-ixy+ixy-i²y²+ix-i²y) / (ix+i²y)(x-iy)
= (x²+y²+ix+y) / (ix-y)(x-iy)
= (x²+y²+ix+y) / ix²+iy²

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