Question sur une dérivée

[titeCari]

Bonjour, je dois dériver cette fonction :

f(x)= Ln(x(x-1)(x-2)(x-3))

j'ai dit que : f(x) = Ln x + ln (x-1) + ln (x-2) + ln (x-3)

d'où f'(x) = 1/x + 1/x-1 + 1/x-2 + 1/x-3

mais après j'ai essayé de remettre le tout sous la forme de poduits et d'un quotient (pour éventuellement étudier le signe), je trouve :

f'(x) = [4x^3 -18x² + 22x -6] / [x(x-1)(x-2)(x-3)]

N'y a-t-il pas moyen de factoriser le numérateur, je ne trouve pas...

Êtes-vous d'accords avec mes réponses ?

[mathelot]

Bonjour, je dois dériver cette fonction :

f(x)= Ln(x(x-1)(x-2)(x-3))

j'ai dit que : f(x) = Ln x + ln (x-1) + ln (x-2) + ln (x-3)

euh, voilà un truc:

pour que le log existe, il faut et il suffit que le produit des quatre facteurs
soient strictement positif.

où le bât blesse, c'est que ce produit peut être strictement positif
avec deux ou quatre facteurs négatifs...

pour éviter cet écueil, on écrit les facteurs en valeur absolue !

f(x) = Ln |x| + ln |x-1| + ln |x-2| + ln |x-3|

et tout marche car

les dérivées sont les mêmes mais la deuxième expression a
un domaine de définition plus large.

[mathelot]

d'après le théorème de Rolle (c'est du post-bac)

si 0,1,2,3 annule le produit P
la dérivée P' s'annule trois fois entre les racines de P
ie,

une fois dans chaque intervalle

on peut donc essayer 3:2 par symétrie ???

[titeCari]

Merci beaucoup pour toutes vos réponses !