Union de 2 sev

[zemalabare]

Bonjour,

j'ai fait quelque recherche, mais je ne trouve aucun post, donc voila mon problème

Soit E un K-ev, F et G 2 sev de E
Montrer que : FUG est un sev de E <=> (FCG ou GCF)

<=
sens trivial

=>
j'essais la contraposée, voici donc ma démo, j'aimerais savoir si elle est bonne, ET si vous, vous auriez une autre idée de comment vous la démontreriez ;) merci

(O est l'élément neutre dans E)
contraposée : (F¢G et G¢F)=> FUG n'est pas un sev de E.
;)x;)F tq x;)G (;)=n'appartient pas) et x;)FUG
;)y;)G tq y;)F et y;)FUG
on veut x+y ;) FUG

si x+y;)F alors (x+y)+(-x) ;) F car -x ;) F et F sev de E
(x+y)+(-x)=y+O=y donc y;)F or y;)F donc x+y;)F

si x+y;)G alors (x+y)+(-y) ;) G car -y ;) G et G sev de E
(x+y)+(-y)=x+O=x donc x;)G or x;)G donc x+y;)G

donc x+y;)F et x+y;)G donc x+y;)FUG ... cqfd?

voila, je la trouve un poil pas compliqué, pour pas dire bcq, et au vu de comment le prof réagissais, je pense qu'il doit manquer des choses :s non?

[Doraki]

Elle est très bien.

Il y a une variante qui n'est pas plus simple mais qui peut-être vous plairait plus :

On suppose que F union G est un sev, et que par exemple F n'est pas inclus dans G :
Il existe x dans F tq x n'est pas dans G.
Alors pour tout y de G, x+y est dans F union G mais ne peut pas être dans G sinon x le serait (comme tu l'as déjà fait).
Donc x+y est dans F, et donc y est dans F.
On a donc montré que G devait être inclus dans F.

[zemalabare]

oui, j'avais eu une idée comme cela aussi! merci pour ta réponse.

j'ai une 2ème question :marteau: mais d'un autre genre!

on pose A=(E\F)U{0}
avec E un k-ev, F sev de E, F;){0} et F;)E

je doit montrer que A n'est pas un sev de E

j'ai demandé a mon prof s'il fallait bien trouver qu'il existe 2 éléments de A tq leur somme ne soit pas dans A. (A est non vide et stable pas la multiplication, donc pour montrer que ce n'est pas un sev, il suffit que A ne soit pas stable pas l'addition)
--------------- je commence comme ca, mais ensuite :s

Soit x€A donc x;)F (car je sais qu'il en existe au moins 1 car, F;)E)

mais voila, comment savoir qui est le 2nd élément qui € A

on pourrai supposer qu'il en existe 2, mais je ne vois pas du tout comment montrer que leur somme n'est pas dasn A :s :briques:

[Doraki]

Commence par choisir leur somme d'abord alors !

[zemalabare]

j'ai compris qui était le 2nd élément, comme A est stable pour le produit externe,

pour tout µ€K, pour tout x€A, µx€A donc il existe beaucoup d'élément qui appartienne à A :)

@doraki : ce que tu veux dire c'est que je dois partir d'un truc du genre

x+y € A , avec x et y € A ?
ou
x+y ;) A , avec x et y € A ?

c'est ca?

[Doraki]

Ton but, c'est de te retrouver dans la situation x + y = z
avec x (donné) et y (inconnu) dans A, et z (inconnu) qui n'est pas non plus dans A.

Tu as essayé de chercher y en premier, tout ce que tu pouvais trouver de simple en te basant sur x, c'est des kx, ce qui ne sert pas à grand chose vu que dans ce cas, z = (k+1)x, est dans A.

Donc je te propose de chercher z en premier, le choisir de manière à ce qu'il ne soit pas dans A, puis ensuite voir si le y = z-x obtenu est dans A.

[zemalabare]

J'ai trouver quelque chose, mais je pense que ca ne suis pas ta démarche.

F;){0}, soit f€F tq f;)0
F inclue dans E mais ;) de E donc ;)a€A tq a;)F et ;)(-a)€A car A est stable par le produit externe.
on pose x=f+a et y=f+(-a)

x,y€A ?
si x€F, comme f€F sev de E, (-f) existe & €F, donc x-f€F d'où a€F absurde donc x€A
si y€F, comme f€F sev de E, (-f) existe & €F, donc y-f€F d'où (-a)€F absurde dc x€A

donc x,y€A.

x+y€A?
ie on veut, x+y€F et x+y;)0
x+y=f+a+f+(-a)=f+f €F donc x+y €F
or f;)0 donc f+f;)0
donc x+y;)A ... cqfd

ma preuve, je pense est juste, mais j'aimerais savoir si c'est ce que tu voulais me faire comprendre? je pense pas car, j'ai trouver 2 éléments de A, x et y,tels que leur somme z n'est pas dans A, et toi tu voulais que je fasse l'inverse non? si c'est cela, peux-tu me dire comment tu l'aurais fait, car je n'est pas réussi à trouver z avant y

merci d'avance :)

[Doraki]

Ta preuve a la maladresse de pas marcher si K est de caractéristique 2 quand tu dis que "f est non nul donc 2f est non nul".

Plus simplement, tu peux dire :
Soit z dans F\{0} et x dans A, et soit y = z-x.
Là tu sais montrer que y est dans E mais pas dans F, donc est dans A, etc...