DM Complexes

par **alex_77181** » 17 Sep 2009, 18:51

Bonjour, je dois rendre un DM ce lundi et je bloque déja !!
Voici l'exercice :

z=x+iy
on pose Z=(1+z)(i+zbar)

a) déterminer et représenter l'ensemble E des points M d'affixe z tels que Z soit réel.
b) Déterminer et représenter l'ensemble F des points M d'affixe z tels que Z soit imaginaire pur.

J'ai donc calculer Z et je trouve Z=x²+y²+x-y+i(1-y+x)...et la je suis bloqué, je n'arrive pas a déterminer x et y, j'ai besoin de votre aide !!

Un grand merci à tous.

par **mathelot** » 17 Sep 2009, 19:39

bs,

utilise le fait que la conjugaison

est un morphisme de corps:

et aussi

et enfin
Re(z+z')=Re(z)+Re(z')
Im(z+z')=Im(z)+Im(z')

ce qui évite d'avoir recours à la forme cartésienne x+iy , on travaille directement sur l'expression de Z en utilisant les propriétés ci-dessus.

par **mathelot** » 17 Sep 2009, 19:43

par exemple Z réel équivaut à

Z étant une expression avec produit, on conjugue,

devient

etc,..on développe les produits.

par **annick** » 17 Sep 2009, 20:24

bonsoir,

tu as trouvé : Z=x²+y²+x-y+i(1-y+x)

pour que Z soit réel, il faut que la partie imaginaire soit nulle donc 1-y+x=0, soit y=1+x, ce qui correspond à une droite

de même pour que Z soit imaginaire pur...

par **alex_77181** » 18 Sep 2009, 15:37

Merci !
Et comment trouvé la partie réelle ? J'arrive a ReZ=0 équivaut a x²+y²+x-y=0
Et ensuite ?

par **mathelot** » 18 Sep 2009, 17:22

re,

je te montre en calcul intrinsèque (sans coordonnées) :id:

la conjugaison est un morphisme de corps, toutes les opérations passent
au conjugué:

on développe (on est dans un anneau)

on regroupe

on va voir sur l'ile-aux-maths, ce que l'on a obtenu
est pile-poil une équation de droite en complexe :id:

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