X+racine(x)=0

[steph]

bonjour,
Voici mon problème

Je résous l’ équation de deux façons et je n’arrive pas aux mêmes conclusions.
Racine(x)+x = 0
Je suis en première S

Méthode 1
Racine(x) ( 1+racine(x)) =0
Donc x=0 ou 1+racine(x) = 0 ce qui est impossible
Donc il y a une seule solution x=0

Méthode 2

Racine(x)= -x
(Racine(x)) ^2 = (- x)^2
x = x^2 ( car x>=0)
x^2-x =0
x (x-1) =0
donc x=0 ou x=1
or 1 n’est pas solution de l’équation de départ !!
je vois bien que que la ligne racine(x) = - x n’est pas possible puisque x doit être positif ou nul et qu’une racine est aussi positive ou nulle.. et que c’est sûrement de la que vient le problème.
Pourtant cette ligne vient de l’équation donnée…
Merci

[mathelot]

bj,

en élevant au carré, on introduit une solution parasite,
solution , égale à 1, de l'équation



les deux équations E_1 et E_2 ne sont pas équivalentes, auquel cas elles aurait les mêmes solutions.

simplement l'équation implique l'équation
et dans ce cas l'ensemble des solutions

ie, toute solution de l'équation est solution de l'équation

E1:
E2:

[echevaux]

Bonjour

C'est ton élévation au carré (passage de à ) qui pose problème et introduit une fausse solution :
Si 2 nombres sont égaux alors ils ont le même carré
MAIS
Si 2 nombres ont le même carré alors ils sont égaux ou opposés.

[bombastus]

Salut,

Méthode 2

Racine(x)= -x
(Racine(x)) ^2 = (- x)^2
x = x^2 ( car x>=0)

Moi, à la première ligne :
Racine(x)= -x
je dirais que l'on a forcément x;)0 et x;)0... donc x=0!

[steph]

je suis d'accord avec ce que dit echevaux mais dans mon cas je raisonne dès le départ sur des nombres positifs ou nuls. puisque l'ensemble de définition de l'équation dépend de la racine carrée.
or sur les positifs on a l'équivalence :
si deux nombres au carré sont égaux alors ces nombres sont égaux !!
on a donc l'équivalence !
donc on a pas du tout ce problème de nombres opposés.
et je ne comprend pas du tout pourquoi le fait d'élever au carré introduit une solution parasite puisque encore une fois on garde l'équivalence en raisonnant sur des positifs !!

[steph]

alors, personne pour relever ce problème..
car pour moi ce n'est pas résolu !
merci

[Skullkid]

Pour passer de la 1ère à la deuxième ligne tu utilises la prétendue équivalence :


Sauf que cette équivalence est fausse, a = b n'équivaut à a² = b² que si a ET b sont positifs. Or ici, b alias -x est négatif.

[beagle]

racine (1)+1=0 est faux
racine(1)= -1 est faux
maintenant si tu élèves au carré cela devient vrai.
donc c'est bien en passant au carré ton égalité que tu fais rentrer une solution qui existe vraie au carré et est fausse quand pas au carré.

c'est ce qui t'es dit depuis le début,
rends toi t'es cerné :we:

[busard_des_roseaux]

Méthode 1
Racine(x) ( 1+racine(x)) =0
Donc x=0 ou 1+racine(x) = 0 ce qui est impossible
Donc il y a une seule solution x=0

en plus,cette méthode est très bien.

[steph]

merci mais le fait d'écrire racine(x)=-x avec x positif est donc faux si je comprend bien.
pourtant cette égalité vient de l'équation elle même ??
c'est pas encore clair... désolé.
je cherche vraiment à bien comprendre ça !

[Sa Majesté]

n'est pas une égalité mais une équation (il peut donc très bien ne pas y avoir de solutions)

Cette équation n'a de sens que pour puisque l'on considère

Elle n'est pas vérifiée pour x > 0 puisque dans ce cas alors que

Reste le cas x=0 qui vérifie effectivement l'équation, c'est donc la seule solution