Equation différencielle

par **Elnorth** » 20 Fév 2006, 14:13

Bonjour,
J'ai un problème avec un exercice :

Un modèle de l'évolution d'une population conduit à l'équation différentielle :

, où P désigne la population à l'instant t exprimé en années.

1. En utilisant la méthode d'Euler avec un pas de 1, donner une valeur approchée de P(3) dans les deux cas suivants : P(0) = 100; P(0) = 0

2. Pour résoudre cette équation différentielle, on suppose tout réel

et on pose

Montre que f est solution de l'équation différentielle :

(E)

Je bloque à la question 2. La 1 se résoud facilement puisqu'il suffit de chercher P'(t) à chaque fois et de faire pour le rang au dessus :

P(t) = P'(t-1) * 1 + P(t-1)

Mais pour la 2 ... je vois pas comment procéder. Si vous avez des idées ...
Merci ^^

par **leibniz** » 20 Fév 2006, 14:25

Salut,
Pour la deuxième tu cherches d'abord

en fonction de P et dP/dt et tu remplaces dans ton équation.........

A+

par **leibniz** » 20 Fév 2006, 14:32

Désolé c'est le contraire ! Tu cherches dP/dt n fonction de f et f'....

A+

par **Elnorth** » 20 Fév 2006, 14:38

En fait, je trouve bien tout, mais je planche au niveau du texte, de la rédaction. Je vois bien que

mais je ne vois pas comment l'écrire. J'entends par là que pour le moment la rédaction est

Mais voilà, je suis pas certain que ce soit juste d'écrire ça comme ça :/

par **Elnorth** » 20 Fév 2006, 14:47

Ha ?

Alors là j'ai rien compris ...

par **leibniz** » 20 Fév 2006, 14:49

Salut,

et

....

par **Elnorth** » 20 Fév 2006, 14:56

Là je comprends plus rien :/ Je vois bien le truc mais alors concernant la résolution ... :/

par **leibniz** » 20 Fév 2006, 15:03

Pour la résolution : Tu oublie le P, determine d'abord y = f , en utilisant la 2eme équation qui est équivalente à

Tu cherche la solution de l'équation sans second membre c'est à dire

(là c'est du cours..) puis tu ajoute la solution particulière

..........

A+

par **Elnorth** » 20 Fév 2006, 15:25

ça passe finalement. Mais les questions après me semble étranges, on croirait lire de la physique avec des questions qui n'ont pas de sens -_-. Voici les énoncés :

3. Résoudre l'équation différentielle (E)
Bien là je dis que : y' = b + ay a pour solution les fonctions de la forme :

Ici a à pour valeur -1 et b :

. Donc :

Mais ce n'est pas résoudre ... Enfin, il faut les conditions initiales. Or la question suivante dit :

4. On suppose que P(0) = 100. Calculez f(0), exprimez alors f puis P en fonction de t.

Là je suis perdu dans le sens des questions ...

par **leibniz** » 20 Fév 2006, 15:28

Je suppose que le calcul de f(0) ne te pose pas de problème. Après,

et tu détermines C ...
Voilà, c'est tout.

PS: La variable ici c'est t.
A+

par **Elnorth** » 20 Fév 2006, 15:36

Bien si il me pose problème. Je pense que tout doit être fait en fonction de f, soit 1/P puisqu'au début de l'exercice ils nous demandent deux valeurs pour P(0). C'est assez étrange ... Enfin voici ce que j'ai fais :

Est-ce correct ?

par **leibniz** » 20 Fév 2006, 15:37

Oui, c'est correct.

Bon courage.

par **Elnorth** » 20 Fév 2006, 16:04

Je ne vois pas du tout comment faire pour la 4. Bon, calculer f(0) n'est pas un problème, ça donne simplement :

. Mais après ... Calculez f en fonction de t puis p ...

D'où :

Après je remplace f(t) par ce que j'ai trouvé plus haut. Mais est-ce juste ?

par **Elnorth** » 20 Fév 2006, 16:37

j'abandonne -_-

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