Temps en fonction de la postion, et positon en fonction du t

[Ebô]

Bonjour! (ou plutôt bonsoir ^^ )

Je viens vers vous ce soir avec un petit problème mathématique qui me tient en échec depuis ce matin, et après quelques recherches infructueuses, je me tourne vers vous, internautes, pour me donner un coup de pouce. C'est probablement un peu déplacé pour un premier post, mais enfin j'espère qu'on ne m'en tiendra pas trop rigueur vu qu'il ne s'agit pas de travail scolaire.

J'espère poster dans la section la plus appropriée, n'hésitez pas à déplacer ce sujet en cas d'erreur.



Voilà ma colle, inspirée du jeu vidéo braid. Il s'agit d'un jeu de plateforme de réflexion, où la plupart des énigmes sont basés sur l'écoulement du temps (avec entre autre des retours en arrière, des éléments non affectés par ces retours, des ombres gardant la mémoire des déplacements passés... soit dit en passant c'est un excellent jeu, très intelligent, et disponible à un prix abordable, n'hésitez pas ^^)

Dans un des mondes, le protagoniste dispose d'un anneau qui a la particularité, une fois posé au sol, de ralentir l'écoulement du temps. Plus un élément est proche de lui (l'anneau), et plus son temps propre (celui de l'élément) se ralenti. Voilà une vidéo pour éviter de me perdre dans des explications peu claires (regardez à 2 minutes 00 par exemple).

Tout en jouant, je me suis demandé comment modéliser un système de ce genre. Au premier abord, il m'a semblé que le problème devait être assez trivial, quelque chose comme une équation différentielle. Mais en fait je me suis retrouvé incapable de trouver une solution satisfaisante.



Il est probable que je prenne le problème dans le mauvais sens. En tous cas je suis coincé, peut être verrez vous en quoi je pose mal les équations...




Pour modéliser la situation je me met dans un espace à deux dimensions, avec Oxy repère orthonormé.

Dans la situation "classique", où le temps s'écoule de la même façon en tous points de l'espace, on peut donc tracer la trajectoire d'un point p dans l'espace, avec ses coordonnées:
x(t) = f(T)
y(t) = g(T)
T(t)=t

Avec t temps "absolu", et T temps relatif.

Admettons maintenant que la vitesse d'écoulement du temps relatif d'un point (c'est à dire T'(t)) soit proportionnelle à la position selon x(t).
On a donc par exemple T'(t) = x(t), et T(t)=x(t).dt.
(Ça ne correspond pas exactement à la situation du jeu, mais si je commence à m'embêter avec des normes et une variation en fonction de deux dimension je suis foutu XD ).
C'est là que les problèmes commencent. On se retrouve avec x(t) = f(T) = f(x(t).dt)

x(t) est donc égale à une fonction s'utilisant elle même comme paramètre... Et je ne sais pas résoudre ça, à supposer que ça soit possible, ce dont je doute (je viens de finir ma deuxième année de prépa, pour mémoire).



Donc voilà. J'ai toujours un peu de mal avec les problèmes en fonction du temps, ici comme le temps dépend de la position et la positon du temps je suis perdu oO



Désolé pour le pavé, et merci d'avoir lu jusque là ^^ maintenant si vous êtes assez gentils pour prendre un moment et essayer de trouver comment poser correctement le problème, je vous serais très reconnaissant ^^ et en plus vous aurez la satisfaction personnelle de m'avoir fait gagner du temps de sommeil :p

[Dominique Lefebvre]

Bonjour,
A la première lecture, je pense immédiatement à la transformée de Lorentz pour le temps. On l'emploit en relativité restreinte pour calculer la dilatation du temps en fonction sur rapport v/c. Il suffit de l'adapter un peu....

PS : ralentir l'écoulement du temps revient à dilater le temps au sens de la relativité restreinte.

[Ebô]

Bonjour,

J'avoue que mes connaissances en physique relativiste sont pour le moins limitées (en fait je craignais être ramené vers ce genre de problèmes). Je vais quand même essayer de voir ce que je peux faire avec les transformée de Lorentz, merci à vous ^^.

[Dominique Lefebvre]

Bonjour,

J'avoue que mes connaissances en physique relativiste sont pour le moins limitées (en fait je craignais être ramené vers ce genre de problèmes). Je vais quand même essayer de voir ce que je peux faire avec les transformée de Lorentz, merci à vous ^^.

Bonsoir,
N'hésite pas à nous part de tes démarches, si nous pouvons t'aider...

[JJa]

Bonjour Ebô,

Si j'ai correctement comprit ta question (ce qui n'est pas sûr), je pense qu'il ne faut pas aller chercher midi à quatorze heures, comme on dit.
Tu dis : << x(t) est donc égale à une fonction s'utilisant elle même comme paramètre... >> C'est habituel dans les équations intégrales et elles se ramènent souvent à des équations différentielles par une ou plusieurs dérivations et/ou par un changement d'inconnue faisant intervenir une intégrale.
Considérons l'exemple de ton message du 04/09/2009 00h39 :
Il suffit de faire le changement de fonction inconnue :
g(t) = Somme de x(u) du pour u=0 à u=t
Maintenant, ce n'est plus x(t) qui est la fonction que l'on cherche : c'est g(t).
Puisque g'(t) = x(t) et ton équation s'écrit :
g'(t) = f(g(t)) donc :
dg/dt = f(g(t))
dt = dg/f(g) que l'on intègre :
t = Somme(dg/f(g)) +constante
Si F(g) est une primitive de 1/f(g) ceci donne la fonction :
t = F(g)+c.
A partir de ce résultat, il faut ensuite exprimer la fonction réciproque c'est à dire g(t-c)
et finalement x(t) = la dérivée de cette fonction.
La méthode introduit en général une ou des constantes d'intégration qu'il faut finalement déterminer. C'est le cas ici de la constante c. Le repport de l'expression trouvée dans l'équation intégrale initiale permet théoriquement de calculer la constante.
On ne peut pas expliciter tout cela ici, puisque la fonction f n'est pas donnée dans l'énoncé, ce qui nous oblige à en rester à des considérations de principe.
Noter que la résolution analytique de ce genre de problèmes se heurte fréquemment à des difficultés, principalement au niveau de l'expression de la fonction réciproque. Cela conduit souvent à devoir faire appel à des fonctions spéciales et encore plus souvent, en pratique, à des méthodes de résolution par calcul numérique.