Soit
Exprimer de deux façons suivantes
J'ai pensé à calculer d'abord
Combinaisons, sommes
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combinaisons, sommes
par gilles3 » 15 Sep 2009, 16:28
Bonjour, j'ai un exercice à faire, mais je ne vois pas du tout comment faire:
Soit
un entier naturel non nul.
Exprimer de deux façons suivantes^{2m})
pour calculer:
^p C_{2m}^{2p}})
^p C_{2m+1}^{2p}})
.
J'ai pensé à calculer d'abord^m=\displaystyle{\sum_{p=0}^m C_m^p i^p})
, mais si on élève le tout au carré, je vois pas trop comment s'en sortir: ^{2m}=\displaystyle{\left(\sum_{p=0}^m C_m^p i^p\right)^2})
, expression qu'on ne peut pas développer.
Soit
Exprimer de deux façons suivantes
J'ai pensé à calculer d'abord
par Nightmare » 15 Sep 2009, 16:34
Salut !
Et pourquoi pas tout simplement :^{2m}=\Bigsum_{p=0}^{2m} C_{2m}^{p} i^{p})
?
Pour la deuxième manière, je suggérerai de développer (1+i)² et après d'utiliser le binôme de Newton.
Et pourquoi pas tout simplement :
Pour la deuxième manière, je suggérerai de développer (1+i)² et après d'utiliser le binôme de Newton.
par gilles3 » 15 Sep 2009, 16:37
Alors ^{2m}= \displaystyle{\sum_{k=0}^{2m} C_{2m}^k i^k})
Si k est pair, alors k=2p, p entier naturel et^p)
Si k est impair, alors k=2p+1, et^p)
Donc^{2m}= \sum_{p=0, p \text{pair}}^{2m} C_{2m}^{2p} (-1)^p+i \sum_{p=0, p \text{impair}}^{2m} C_{2m}^{2p+1} (-1)^p})
et là je n'obtient pas
Si k est pair, alors k=2p, p entier naturel et
Si k est impair, alors k=2p+1, et
Donc
et là je n'obtient pas
par gilles3 » 15 Sep 2009, 16:38
Ah si on obtient bien .
Je vois pas trop comment claculer de la deuxième manière.
Je vois pas trop comment claculer de la deuxième manière.
par gilles3 » 15 Sep 2009, 16:41
si je calcule ^2 =2i)
je vois pas trop comment appliquer la formule du binôme de Newton pour ^m)
.
par Nightmare » 15 Sep 2009, 16:54
On en a pas besoin comme tu le vois, on a directement le résultat : 2^m i^m. Identifie ensuite partie imaginaire et partie réelle pour en déduire la valeur de S et celle de T.
par gilles3 » 15 Sep 2009, 17:05
autrement dit, j'ai:
comme
pair, on a alors ^{2m}=2^m i^m=2^m(-1)^{m/2})
, avec 
entier naturel, donc ^{m/2})
et 
comme
par gilles3 » 15 Sep 2009, 17:31
j'ai pas trop compris la remarque:
autrement dit, on aurait^2=2e^{i\frac{\pi}{2}})
donc^{2m}=2^m e^{i\frac{\pi}{2}m}=2^m \cos \frac{\pi}{2}m + i 2^m \sin frac{\pi}{2}m= 2^m \cos \frac{\pi}{2}m + i 2^m \sin \frac{\pi}{2}m)
.
Donc
et 
autrement dit, on aurait
donc
Donc
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