Continuité + derivabilité

[sltlol]

Bonjour,

f(x) = [(1+x)^n - 1] / x ; si x=/= 0
f(0) = 0
Etudier la continuité et derivabilité de f(x) en 0.

J'ai essayé l'identité remarquable a^n - b^n (a=1+x et b=1) mais ça marche pas.

Merci .

[Nightmare]

Salut !

Et pourtant chez moi ça marche avec l'identité remarquable !

Une autre méthode est d'utiliser une approximation affine au voisinage de 0 (vue en 1ère) :

où est une fonction qui tend vers 0 en 0.

On a donc :
qui tend donc vers n quand x tend vers 0. Ayant posé f(0)=0, la fonction f n'est jamais continue en 0 sauf pour n=0 où f est alors identiquement nulle.

[sltlol]

Bon, avec la méthode de l'identité remarquable je suis arrivé à lim(x->0) f(x) = n , donc continue si n=0, sinon elle ne l'est pas, éxactement comme tu as dis ;)

Par contre je bloque sur l'étude de la derivabilité, aucune idée comment calculer lim(x->0) [(1+x)^n - 1] / x² (résultant de lim(x->0) f(x)-f(0) / x-0)

[Nightmare]

Il faut connaitre ton cours !

En l'occurrence, le théorème important qui dit qu'une fonction dérivable est continue.

[sltlol]

Merci ;)
Donc f(x) est dérivable en 0 seulement si n=0 ?

[Nightmare]

C'est bien ça !