Ensembles dénombrables

par **MacManus** » 13 Sep 2009, 18:39

Bonsoir

J'aimerais montrer que l'union d'un ensemble dénombrable E avec un ensemble fini F, est dénombrable.

Bon intuitivement ça ne pose pas de problème, mais je ne vois pas trop comment procéder sur le plan de la numérotation.
Puisque E est dénombrable, il existe f : E -->N bijective.
F est fini, il est aussi dénombrable non ? donc il existerait g : F -->N bijective.
Dans ce cas, pour montrer le caractère dénombrable de E U F, on pourrait considérer une bijection h : E U F --> N. Bon je ne suis pas certain du fait que tout ensemble fini soit dénombrable. D'un autre côté, peut-on écrire :
E U F = (E\F) U F ?? Dans ce cas (E\F) est dénombrable, cad qu'il existe une bijection b : (E\F) -->N. Comment continuer ??

Merci de bien vouloir m'aider

par **abcd22** » 13 Sep 2009, 18:54

Bonsoir,

MacManus a écrit:F est fini, il est aussi dénombrable non ? donc il existerait g : F -->N bijective.

Non car F n'est pas infini. Si F est de cardinal n, il existe g : F --> [| 0; n - 1 |] bijective (où [| 0; n - 1|] est l'ensemble des entiers compris entre 0 et n - 1). Si un ensemble peut être fini ou dénombrable, on dit qu'il est « au plus dénombrable ».

On peut supposer E et F disjoints car s'ils ne le sont pas on les remplace par E et F\E (ou E\F et F) qui vérifient toujours les mêmes conditions.
Si on veut construire une bijection entre F union E et N à la main, je pense qu'il vaut mieux partir d'applications de N et [| 0; n - 1 |] vers E et F que dans l'autre sens. On prend donc f : N --> E et g : [| 0; n - 1|] --> F bijectives, on veut construire h : N --> E union F bijective, l'idée c'est d'envoyer les n premiers éléments de N sur les éléments de F, et les suivants sur les éléments de E en utilisant f et g.

par **MacManus** » 13 Sep 2009, 19:13

Merci beaucoup abcd22. j'ai bien compris où tu voulais en venir. Effectivement dans mon cas je suppose que E et F ne sont pas disjoints. Je vais pouvoir terminer cette question sans problème, merci.

Une dernière question, si je note F(N,N) l'ensemble des fonctions de N --> N, j'aimerais montrer qu'il n'existe pas de surjection de N --> F(N,N) (ce qui montrerait bien que F(N,N) n'est pas un ensemble dénombrable)... mais là en revanche je sèche.. je n'ai pas d'exemples

par **sami-sg1** » 13 Sep 2009, 20:51

salut

Une petite idée sur la non dénombrabilité de F(N,N) :

Par l'absurde : supposons qu'il existe une bijection g : N-->F(N,N). Dans ce cas on pourra nommer les éléments de F(N,N) par f[1], f[2], f[3] .... ( f[i] étant l'image de i par g).
Ensuite on construit une fonction h :N-->N de cette manière : quelque soit i dans N, h(i)= f[i](i) + 1. On voit que quelque soit i dans N, h est différente de f[i]. Donc il n'existe aucun i dans N tel que g(i)=h. Absurde avec l'existence de la bijection....
A+

par **kazeriahm** » 14 Sep 2009, 08:06

F(N,N) est en bijection avec [0,1[ (a une fonction f, on associe le nombre 0,a_1 a_2 ... a_n... avec a_n=f(n))

[0,1[ n'est pas denombrable

par **abcd22** » 14 Sep 2009, 10:18

kazeriahm a écrit:F(N,N) est en bijection avec [0,1[ (a une fonction f, on associe le nombre 0,a_1 a_2 ... a_n... avec a_n=f(n))

C'est surjectif mais pas injectif, ce qui suffit quand même à dire que F(N, N) n'est pas dénombrable.

par **kazeriahm** » 14 Sep 2009, 11:12

oui, autant pour moi, enfin si on prend comme developpement 0,a_0 a_1 ... ca devient bijectif doesn't it ?

par **kazeriahm** » 14 Sep 2009, 11:14

ceci dit cet argument est exactement le meme que celui de sami-sg puisque sa demonstration du fait que F(N,N) n'est pas denombrable est exactement la meme que celle qui montre que [0,1[ ne l'est pas (extraction diagonale, etc)

par **abcd22** » 14 Sep 2009, 12:17

kazeriahm a écrit:oui, autant pour moi, enfin si on prend comme developpement 0,a_0 a_1 ... ca devient bijectif doesn't it ?

Non car les fonctions sont à valeur dans N, pas dans 0, ..., 9.

par **abcd22** » 14 Sep 2009, 12:22

abcd22 a écrit:Non car les fonctions sont à valeur dans N, pas dans 0, ..., 9.

Et d'ailleurs même avec des fonctions à valeurs dans 0, ..., 9 ça ne serait pas injectif car on aurait à la fois les développements décimaux propres et impropres de tous les nombres décimaux (par exemple 0,1000000... et 0,099999999... (développement impropre) qui sont tous les deux égaux à 0,1).

par **kazeriahm** » 14 Sep 2009, 12:40

erf effectivement, completement a cote de mes pompes decidemment

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