Récurrence terminale S

[wallen22]

Bonjour, bonjour, j'ai un exo de maths qui pose bien problème.
Ca concerne la récurrence un chapitre qui me passionne pas trop.


J'ai déjà réussi à faire la premiere question grace à une personne qui m'a gentillement accordé son aide.


Alors voilà l'exo:

Pour tout entier naturel n on pose Sn= (1/(1*2*3)) + (1/(2*3*4)) + ..... + 1/ [(n(n+1)(n+2)]
1)Etablir par récurrence : pour tout n appartenant à N* Sn= [n(n+3)]/ (4(n+1)(n+2) ]

c'est fait.

2)a) a appartient à R*+
ON sait que pour tout n appartenant à N* (1+a)^n >ou égal 1+na

poser a =1/n pour établir pour tout n appartenant à N* (n+1=^n >ou égal 2n^n

voilà ce que j'ai commencé :

(1+a)^n > 1+na
(1+(1/n)) ^n > 1+(n*1/n)
((n+1)/n)) ^n > 2
[(n+1)^n / n^n ] >2
(n+1)^n > 2*n^n

c'est bien ça ?

2)b voilà c'est la que les difficultés commencent :

pour tout n de N* on pose n!= 1*2*.....*n
etablir par récurrence : pour tout n de N* (n+1)^n > ou égal 2^n*n!

alors l'initialisation c'est fait j'ai réussi à montrer que P(1) est vrai

hérédité:

k appartient à N* je suppose P(k) vrai :

(k+1)^k > 2^k * k!
(k+1)^k > 2^k * (1*2* ....*k)

je sais que je dois montrer ça:

(k+2)^(k+1) > 2^(k+1) * (1*2* ....*(k+1))

j'ai fait ça mais je doute que ça ne serve à grand chose:
(k+1)^k > 2k^k > 2^k * (1*2* ....*k)

[wallen22]

je vois pas quelle manière de procéder il faudrait adopter ici

[Ericovitchi]

tu sais que et tu veux montrer que c'est bien ça

Et bien tu dis d'abord que (car tends vers e donc pour un n assez grand, il est plus grand que 2)

Après

[wallen22]

je ne comprend pas votre raisonnement

[wallen22]

à partir de là (k+1)^k > 2^k * (1*2* ....*k)
qu'est ce que je peux faire?

c'est vraiment un casse-tête la recurrence

[Ericovitchi]

mais je t'ai donné la réponse entière. Qu'est-ce que tu ne comprends pas dans cette réponse ?

[wallen22]

c'est quoi ce "e" ??
et puis je ne comprend pas cette phrase : "tends vers e donc pour un n assez grand, il est plus grand que 2) "

[Ericovitchi]

e la base des logarithmes népérien = 2,71828 tu n'as jamais entendu parler ? tu es en quelle classe ?

[wallen22]

pas du tout!!! je suis en terminale S
pour le moment on a fait la recurrence

[Ericovitchi]

bon OK alors effectivement laisses tomber ma démonstration

[wallen22]

qu est ce que je peux fair alors ?

[wallen22]

personne ne pourrait m'aider :-(