Récurrence et divisibilité terminale S spé

[wallen22]

Bonsoir, j'ai un dm à faire de spécialité.
et je peine à prouver ce qu'on me demande.

alors voilà l'énoncé:

Etablir que pour tout entier naturel n, 3*5^(2n+1) + 2*^(3n+1) est divisible par 17.

voilà ce que j'ai réussi à faire:

a=0 P(n):[ ( 3*5^(2n+1) + 2*^(3n+1) ) / 17]

( 3*5^(2*0+1) + 2*^(3*0+1) ) = 3*5+2=15+2=17 = 17*1

( 3*5^(2*0+1) + 2*^(3*0+1) ) / 17
donc P(0) est vrai.

k appartient à N je suppose que P(k) est vrai.

(3*5^(2k+1) + 2*^(3k+1) ) / 17

il existe q appartenant à Z tel que 17q= (3*5^(2k+1) + 2*^(3k+1) )
je veux montrer que 3*5^(2k+3) + 2*^(3k+4)=17*q


3*5^2(k+1)+1 + 2 ^3(k+1)+1 = 3*5^(2k+3) + 2^(3k+4)
= 3*5^(2k+1)*5²+2^(3k+1)*2^3
=3*5^(2k+1)*25+2^3k+1*8
=17q-2^(3k+1)*25+2^(3k+1)*8
ici si je développe du coup je perd le 17 qu'il me faut alors quoi faire ??

[girdav]

Rebonsoir.
En fait pas besoin de récurrence si tu as vu les propriétés des congruences.

[wallen22]

non je n'ai pas vu les propriétés des congruences, on a vu ce type d'exo qu'avec la récurrence

[girdav]

Sinon en notant on a

[wallen22]

euh je suis perdu.. moi j'en suis là pour le moment :

3*5^2(k+1)+1 + 2 ^3(k+1)+1 = 3*5^(2k+3) + 2^(3k+4)
= 3*5^(2k+1)*5²+2^(3k+1)*2^3
=3*5^(2k+1)*25+2^3k+1*8
=17q-2^(3k+1)*25+2^(3k+1)*8

si on pouvait faire par étape ce serait mieux car je suis perdu

[girdav]

Oui et il te reste à mettre en facteur.

[wallen22]

2^(3k+1)* (-17q+25+8 ) ???
ça va pas comme ça puisque j'ai une somme avec le 17q.

[wallen22]

je vois pas trop comment faire

[girdav]

Non, seul n'est pas concerné par cette factorisation.

[wallen22]

17q-2^(3k+1) * (25-8)
=17q-2^(3k+1) * 17

[girdav]

Oui, donc?

[wallen22]

17(q-2^3k+1)

q-2^3k+1 appartient à Z

3*5^(2(k+1)+1) + 2^(3(k+1)+1) = 17 (q-2^(3k+1))

ok donc là c'est enfin fait!


MERCI!!!!!

[girdav]

De rien! Affaire classée!

[wallen22]

affaire classée pour cet exo c'est sur !! mais il m'en reste 2 !!!! grrr!!!!