Exercice sur les complexes

[Bertrand Hamant]

Bonsoir, Je vous présente l'énoncé


On considère dans un repère orthonormal, les points A et B d'affixes respectives i et - i

A tout point M du plan d'affixe z distincte de -i, on associe le point M' d'affixe z' = (1+iz)/(z+i)

1) Quelle est l'image du point O, j'ai trouvé 1/i soit z o' = -i

Quel est le point qui a pour image C d'affixe 1+i ?j'ai trouvé z = 2-i

b) Prouvez que l'équation (1+iz)/(z+i)= z admet 2 solutions


en effet après développement on trouve z = 1 ou z = -1, l'équation admet bien deux solutions.

2) vérifier que z' = i(z-i)/(z+i) et déduire que OM' = AM/BM et ( u ; OM' ) = ( MB ; MA ) = PI/2 k + kpi

z' = iz + 1 / z+i z' = i(z-i)(z+i)/z²+1 = i donc |z'| = 1

ce qui prouve |z-i| = |z+i| soit donc que AM = BM

donc OM' = AM/BM et donc arg(z') = Pi/2 car z' est un imaginaire pur

est ce correcte jusqeu là ??

3) Prouvez que tous les points de l'axe des abscisses ont leurs images situés sur un même cercle. C'est donc le cercle C, de centre O et de rayon 1

est ce juste ??

4) M est un point du cercle du dimaètre AB, différent de A et B.

Prouvez que son image M' est situés sur l'axe des abscisses

je reste bloquée, pouvez vous me dire si ce que j'ai fait est bon ou pas ??

[allomomo]

Salut,

Il faut séparer les questions des réponses ... (Juste 1 conseil )

[Bertrand Hamant]

Oui excuse moi, ce n'est pas très clair

On considère dans un repère orthonormal, les points A et B d'affixes respectives i et - i

A tout point M du plan d'affixe z distincte de -i, on associe le point M' d'affixe z' = (1+iz)/(z+i)

1) Quelle est l'image du point O?

Rép : j'ai trouvé 1/i soit zo' = -i

Quel est le point qui a pour image C d'affixe 1+i ?

Rép : j'ai trouvé z = 2-i

b) Prouvez que l'équation (1+iz)/(z+i)= z admet 2 solutions

Rép : en effet après développement on trouve z = 1 ou z = -1, l'équation admet bien deux solutions.

2) vérifier que z' = i(z-i)/(z+i) et

déduire que OM' = AM/BM et ( u ; OM' ) = ( MB ; MA ) + PI/2 k + kpi


Rép : z' = iz + 1 / z+i z' = i(z-i)(z+i)/z²+1 = i donc |z'| = 1

ce qui prouve |z-i| = |z+i| soit donc que AM = BM

donc OM' = AM/BM et donc arg(z') = Pi/2 car z' est un imaginaire pur

est ce correcte jusqeu là ??

3) Prouvez que tous les points de l'axe des abscisses ont leurs images situés sur un même cercle.

Rép : C'est donc le cercle C, de centre O et de rayon 1

est ce juste ??

4) M est un point du cercle du dimaètre AB, différent de A et B.

Prouvez que son image M' est situés sur l'axe des abscisses

je reste bloquée, pouvez vous me dire si ce que j'ai fait est bon ou pas ??

Voilà

[alyssa]

Slt j'aimerai t'aider mais je ne suis pas très forte en mathématiques parcontre toi ton début de raisonnement est très intéressant. Est ce que tu peux m'aider pour le mien, mon nom est alyssa répond moi stp.Merci

[Bertrand Hamant]

Je pense avoir trouvé pour la dernière question


Si M appartient au cercle C de diamètre AB, alors Arg(z+i) - Arg(z-i) Pi/2


Par conséquent Arg(z') = Pi/2 + Pi/2 + Kpi = Pi + kPi


par conséquent M' est un réel car son argument vaut Pi, donc il est situé sur l'axe des absciscess.

Merci de me dire si mes résultats sont bons ?

[Bertrand Hamant]

Oui regarde ce que j'ai mis à mon dernier message, peux tu me confirmer si c'est bon ?

[alyssa]

J'espere que t'y arrivera peut tu m'aider stp c urgent. Merci d'avance

[Bertrand Hamant]

Comme arg(z') =Pi + kpi ça confirme bien que M' est situé sur l'axe des abscisses rain ?

[Bertrand Hamant]

Merci rain de ta confirmation, j'ai simplement poster plusieurs fois car Allomomo, m'a fait la remarque, de rendre plus claire, mes réponses des questions.

Merci

[Anonyme]

Rain peut tu m'aider tu est très intelligent stp moi c alyssa.mon message concerne la géométrie et les fonctions.
STP MERCI