Endomorphisme ?

[Djmaxgamer]

Bijour bijour... j'aurais une petite question de cours : j'ai compris jusque là tout ce qu'on a fait en cours, les démonstrations, etc... mais je n'arrive pas à m'expliquer ceci ; après avoirs redéfini le corps des complexes, on a (ré) étudier quelques propriétés des complexes. Rien de compliqué, je vous l'accorde. Mais, quand on a parlé du conjugué, on a vu (et redémontrer) :
(z/ voulant dire conjugué de z)
(1)
Classique, c'est certain.

On a ensuite posé l'application

On a démontré que l'application phi est involutive : pas de problème. De même pour la bijectivité et (bien entendu vu l'involutivité) l'application réciproque, qui n'est rien d'autre que l'application phi elle même.


Mon problème vient juste entre ces deux étapes : la définition de phi et la démonstration de son involutivité. On a dit que phi était un endomorphisme (que le prof nous a défini oralement comme étant un morphisme ayant le même ensemble de départ et d'arrivée). Mais la, vu la définition de phi, je ne vois pas pourquoi c'est un morphisme. On a défini un morphisme comme étant un application associant à tout élément de (A,T) un élément de (A',T') avec T et T' des loi de composition interne de A et de A' respectivement.

Mais dans la définition de phi, je ne vois (explicitement dit) aucune loi de composition interne. Est-ce parce que c'est bon pour les LCI "+" et "*" dont on vient de faire la démonstration (le (1) ) ? Ou alors je suis à côté de la plaque ?

Je vois très bien que :

et :

Sont des endomorphismes involutifs et bijectifs, mais pas phi tout court. Abus de notation peut être...

merci de m'éclairer.

[maturin]

je t'invite à aller voir la définition de morphisme sur Wikipedia:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Morphisme#D.C3.A9finition_g.C3.A9n.C3.A9rique

Ta définition est celle d'un morphisme de groupe, un groupe n'ayant qu'une loi de composition.

est un corps muni de 2 lois de compositions (+ et x)

Tu vas me dire que la définition d'un morphisme de corps n'est pas écrite sur le lien que je t'ai donné, mais bon tu devrais pouvoir l'écrire toi même.

la notation est un racourci de

[Djmaxgamer]

D'accord merci je comprends mieux...on avait défini les morphismes juste après les groupes, donc je pensais que ca ne s'appliquait qu'aux groupes...


Mais bon sans la notation raccourcie j'aurais tout de suite vu ^^



Pour la définition je pense facilement l'écrire puisque pour le corps (C,+,*), (C,+) et (C*,*) sont des groupes commutatifs, il suffit de dire :
phi est un endomorphisme du corps (C,+,*) ssi c'est un endomorphisme du groupe (C,+) et de (C*,*)

pour les morphismes :
f est un morphisme du corps (A,T,T') vers (B,t,t') ssi c'est un morphisme du groupe (A,T) vers (B,t) et de (A,T') vers (B,t')

non ?

(enfin avec ce qu'on a vu pour l'instant, c'est à dire que la définition d'un corps c'est : "(A,T,T') est un corps ssi (A,T) et (A*,T') sont des groupes commutatifs", je ne vois pas grand chose d'autre comme définition de morphisme de corps)

[Nightmare]

Salut,

Pour la définition je pense facilement l'écrire puisque pour le corps (C,+,*), (C,+) et (C*,*) sont des groupes commutatifs, il suffit de dire :
phi est un endomorphisme du corps (C,+,*) ssi c'est un endomorphisme du groupe (C,+) et de (C*,*)

Oui, c'est Ok

(enfin avec ce qu'on a vu pour l'instant, c'est à dire que la définition d'un corps c'est : "(A,T,T') est un corps ssi (A,T) et (A*,T') sont des groupes commutatifs", je ne vois pas grand chose d'autre comme définition de morphisme de corps)

Je suis pas vraiment d'accord avec la définition de ton prof. Déjà, seul (A,T) se doit d'être abélien. Ensuite il faut que T' soit distributive sur T. Pour finir il faut aussi que A* soit exactement A-\{0\} ce qui n'est bien sûr pas toujours vrai.

[Nightmare]

Et dernière chose, habitue-toi à ne pas voir apparaitre les lci lorsqu'on parle de corps et de groupe, souvent on parle des lois naturelles. Si jamais elles ne le sont pas, elles seront précisées.

[Djmaxgamer]

Salut,



Oui, c'est Ok




Je suis pas vraiment d'accord avec la définition de ton prof. Déjà, seul (A,T) se doit d'être abélien. Ensuite il faut que T' soit distributive sur T. Pour finir il faut aussi que A* soit exactement A-\{0\} ce qui n'est bien sûr pas toujours vrai.

J'ai peut-être mal généralisé :

(K,+,*) est un corps si (k,+) est un groupe commutatif et (k*,*) est un groupe commutatif tel que tout élément non nul a un inverse pour "*"

Il n'a pas précisé plus les corps, c'était en troisième heure de cours il voulait juste qu'on vois globalement ce que c'est : mais dans ce cas * est distributive par rapport à +.

Donc je rectifie : on a vu la définition uniquement des corps munis de l'addition et de la multiplication. Là c'est correct non ?

EDIT : j'ai relu le cours on a bien vu le cas uniquement de (K,+,*) pour K un ensemble, pareil pour les anneaux on vu uniquement (A,+,*)
Je suppose que la fonction rond implique des interprétation géométriques difficiles à expliciter dans un premier cours sur les ensembles.

Et dernière chose, habitue-toi à ne pas voir apparaitre les lci lorsqu'on parle de corps et de groupe, souvent on parle des lois naturelles. Si jamais elles ne le sont pas, elles seront précisées.

lois naturelles ?

[Nightmare]

Qu'appelles-tu addition et multiplication ici ? Je pense que tu te méprends, + et * ne désignent pas "l'addition" et "la multiplication" comme dans R, c'est comme cela qu'on note généralement les deux lois des corps, justement pour leur ressemblance avec l'addition et la multiplication usuelles.

Quant à ta généralisation, dire que (A*,*) est un groupe commutatif tel que tout élément non nul a une inverse pour * est redondant puisque tous les éléments de A* sont, par définitions, inversibles.

[Skullkid]

Que tu notes la loi * ou o ça change rien. La définition d'un corps est celle donnée par Nightmare. Il se trouve que dans ton cas, vu que ce sont des lois naturelles, tu sais que la deuxième loi est distributive sur la première, mais ça reste un point essentiel de la définition. Quant au terme de "multiplication", sauf erreur de ma part, on appelle multiplication toute loi qui se comporte de façon similaire aux multiplications "naturelles" (comme celle de ).

Et seule la première loi doit être commutative.

[Djmaxgamer]

Qu'appelles-tu addition et multiplication ici ? Je pense que tu te méprends, + et * ne désignent pas "l'addition" et "la multiplication" comme dans R, c'est comme cela qu'on note généralement les deux lois des corps, justement pour leur ressemblance avec l'addition et la multiplication usuelles.

Quant à ta généralisation, dire que (A*,*) est un groupe commutatif tel que tout élément non nul a une inverse pour * est redondant puisque tous les éléments de A* sont, par définitions, inversibles.

Pour la deuxième partie, c'est vrai mais j'ai recopié le cours (le prof qui a justement repris cette partie la de la définition, c'est useless mais certains ne connaissait pas la notation "A*" d'ou l'utilité de préciser cela (il n'a pas mis A* mais A-{0})

Pour la première partie de ton message, tu as surement raison, mais disons que le prof a pour habitude de noter les lci T, T', etc... donc je pense que dans le cas particulier qu'il a voulu nous montrer pour nous faire comprendre ce qu'est un corps, il a pris addition et multiplication.

[Nightmare]

Ahhh ! Ca change tout ! Attention à ne pas confondre A* et A-{0} ! Il faut justement qu'ils soient égaux pour avoir un corps !

Comme je te l'ai dit, les symboles désignant les lci sont muets, on peut mettre n'importe quoi. Après par convention on va noter + la loi d'un groupe (à moins que ce ne soit une loi usuelle qui est déjà déterminée par un autre symbole comme la réunion sur les ensembles) et * la deuxième loi multiplication lorsqu'on a un anneau ou un corps.

[Djmaxgamer]

Ahhh ! Ca change tout ! Attention à ne pas confondre A* et A-{0} ! Il faut justement qu'ils soient égaux pour avoir un corps !

Comme je te l'ai dit, les symboles désignant les lci sont muets, on peut mettre n'importe quoi. Après par convention on va noter + la loi d'un groupe (à moins que ce ne soit une loi usuelle qui est déjà déterminée par un autre symbole comme la réunion sur les ensembles) et * la deuxième loi multiplication lorsqu'on a un anneau ou un corps.

Alors A* désigne quoi ? Enfin on m'a toujours dit que A* signifiait A-{0} pourtant ?


D'accord si je comprends bien, "+" ne signifie pas forcement addition, mais une loi quelconque (sauf si il existe une notation spécifique) et "*" signifie la loi multiplication (toute loi qui se comporte de façon similaire aux multiplications "naturelles" d'après skullkid)...

Mais justement cette définition, "toute loi qui se comporte de façon similaire aux multiplications "naturelles"" je la comprends pas trop, mais je pense que je vais devoir être patient ^^ (parce que loi naturelle ? similarité ? car la similarité implique qu'il y a une caractérisation de la multiplication dans R, autre que "a fois b" = a*b ou encore a+a+a+a...+a mais la encore il faudrait caracteriser la multiplication, pour qu'il y ai comparaison... et ca je ne vois pas vraiment) : exemple : la remarque de skullkid me fait comprendre que rond est une loi multiplication. Mais pourquoi, je ne comprends pas du tout.

Que tu notes la loi * ou o ça change rien.

Mais au fait si le prof a précisé (K* = K-{0}) commutatif c'est surement que, pour qu'on comprenne mieux il s'est restreint à la multiplication, et donc ne s'est pas lancé dans le cas général (parce que c'est vrai que vu tout ce que vous me dites la, 3 lignes sur les corps c'est pas énorme)

[Nightmare]

A* désigne l'ensemble des éléments inversibles de A. Dans le cas des ensembles usuels type N, Q, R, C (et en fait dans tous les corps qu'on connait) cela correspond effectivement à A-{0} (où 0 désigne l'élément neutre)

Quand je dis que les lois sont similaires, cela veut dire qu'elles ont les même propriété : associativité, distributivité, régularité et, pour la loi +, commutativité.

[Skullkid]

Les termes "similaire" et "naturelles" que j'ai utilisés ne sont pas du tout rigoureux, c'est juste pour te faire sentir le truc, il n'y a pas de cadre formel bien défini qui dit quand est-ce qu'on a le droit d'appeler une loi "multiplication".

Formulé différemment, je dirais que la première loi joue le rôle de l'addition, et la deuxième de la multiplication.

[Djmaxgamer]

A* désigne l'ensemble des éléments inversibles de A. Dans le cas des ensembles usuels type N, Q, R, C (et en fait dans tous les corps qu'on connait) cela correspond effectivement à A-{0} (où 0 désigne l'élément neutre)

Quand je dis que les lois sont similaires, cela veut dire qu'elles ont les même propriété : associativité, distributivité, régularité et, pour la loi +, commutativité.

Ah je vois...

Remarque pour le "0 désigne l'élément neutre" : pour R(+,*) (ou la je parle bien de l'addition et de la multiplication) il ne faut pas préciser : où 0 désigne l'élément neutre de la 1ère loi ?

Les termes "similaire" et "naturelles" que j'ai utilisés ne sont pas du tout rigoureux, c'est juste pour te faire sentir le truc, il n'y a pas de cadre formel bien défini qui dit quand est-ce qu'on a le droit d'appeler une loi "multiplication".

Formulé différemment, je dirais que la première loi joue le rôle de l'addition, et la deuxième de la multiplication.

a ok "loi naturelles" : loi que j'aurais appelées "classiques" comme addition, multiplication, composé, union, inter, ... non ?
Mais d'accord similaire = même propriétés

[Nightmare]

Je dis naturelles car ce sont celles avec lesquelles on a l'habitude de travailler.

Pour ce qui est de l'élément neutre, s'il existe, il est unique, lorsqu'on parle de corps et que les éléments neutres sont évidents, on ne les précise pas.

[Djmaxgamer]

Donc en résumé : définition d'un corps

(K,T,T') est un corps si
- T est une loi "additive" (qui a les même caractéristiques que l'addition), T' une loi multiplicative (qui a les même caractéristiques que la multiplication)
- (K,+) est un groupe commutatif
- K* (ensemble des éléments inversibles par + et *) = K - {e} où "e" élément neutre de T)
- T' est distributive par rapport a T

Si je comprends bien le corps admet un unique élément neutre (élément neutre du groupe (K,T) car (K,T') n'est pas forcément un groupe).

D'après les définitions données par le prof (si elles étaient dans les cas généraux) : un corps a les propriétés d'un anneaux, mais avec K*=K-{e}