Divergence d'un champ tensoriel

[Skullkid]

Bonjour, pendant un TD de mécanique, on nous a donné la formule suivante : si T est un champ tensoriel d'ordre p, où le tenseur métrique est d'ordre p+1.

Comme pour l'instant on est sur des tenseurs d'ordre 2 ou moins, en pratique, on calcule la divergence par la trace du gradient. Mais en lisant l'article de wikipedia, j'ai plutôt l'impression que la divergence d'un tenseur d'ordre p est d'ordre p-1, or d'après ma formule, l'ordre de la divergence est 2p-2... La formule est-elle fausse ? Ou y en a-t-il une ressemblante, qui diffèrerait au niveau des ordres ?

[Dominique Lefebvre]

Bonsoir,

D'après mes souvenirs (à vérifier), la divergence d'un tenseur d'ordre p est un tenseur d'ordre p-1 dans le cas des tenseurs sur une variété riemanienne avec connexion de Levi.

Dans le cas général, la divergence d'un tenseur d'ordre (p,q) donne un tenseur d'ordre (p-1,q). Mais sous l'hypothèse faite ci-dessous, on se ramène à un tenseur d'ordre p-1.

Mais pour dire vrai, mes souvenirs sont assez nébuleux... t'as pas le cours de Bony sous la main?

[Skullkid]

Non j'ai pas son cours (il a pris sa retraite en 2007), mais il est sans doute à la bibliothèque. Dans mon cours de méca je viens de trouver avec le tenseur métrique d'ordre 2, donc j'imagine que ça doit marcher que pour p = 1... ou alors le tenseur métrique de la formule est toujours d'ordre 2, quel que soit l'ordre de T... j'essaierai de voir ça si je trouve le cours de Bony. Autrement je vais me contenter de ce que j'ai tant qu'on en reste à l'ordre 2