Exercice MPSI rigolo

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egan
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par egan » 31 Aoû 2009, 12:25

Dans le cas des réels, il faut que tous les réels soient égaux pour que le produit soit maximal ?



lapras
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par lapras » 31 Aoû 2009, 13:55

Oué c'est ca, l'IAG indique que l'inégalité devient égalité SSI x_1=x_2=...=x_n

Bouchra
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par Bouchra » 01 Sep 2009, 07:10

Bonjour,

Pour le max avec x_i entiers :

Déjà si S max=0
si S/n entier ----> max=(S/n)^n

Si on écrit dans les autres cas (S>n et S non entier) : S=n*p+q (q0)
Alors je propose (pas sûr) : max = (p+1)^q*p^(n-q)
La formule marche pour les cas précédents.

lapras
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par lapras » 01 Sep 2009, 09:07

salut,
quelles sont les idées derriere cette formule ? (je ne sais pas si elle est bonne, je pense pas)

Bouchra
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par Bouchra » 01 Sep 2009, 12:54

Au début j'avais pensé à d'autres formules, et puis je me suis dit qu'il faut éviter d'avoir des 1 quand c'est possible (puisque r*12), et aussi il faut pas que les x_i soient trop dispersés, et étant donné S, S= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... +1, j'ai partagé les 1 entre les x_i comme ça par exemple :
Code: Tout sélectionner
x_1 x_2 x_3 ... x_n
 1   1   1       1
 1   1   1       1
 .
 .
 .
 1   1
---------------------
p+1 p+1  p  ...  p
D'où la formule.
Mais tu dis que tu penses pas que ce soit la bonne formule, t'aurais un contre exemple stp, j'en ai pas croisé en faisant quelques tests.

Bouchra
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par Bouchra » 07 Sep 2009, 13:14

Bonjour,

Désolée de remonter le topic, mais ne trouvant pas de contre exemple, j'ai eu ce matin une idée de démonstration pour la formule que j'ai donnée :

Donc comme je disais :

Si n>S ---> max=0

Si n=S ---> max=1

Si n
Maintenant

1) Si S>2n alors on peut éviter les 1, le maximum est obtenu pour des x_i tous différents de 1 (puisque r*1<(r-1)*2 pour r>2).

2) De plus, les x_i ne peuvent prendre trois valeurs distinctes, en effet :
Si on a (après réordonnement) :
x_1=k
x_2=l
x_3=m

avec k>l>m

alors on peut mieux faire avec

(k-1)*(m+1) au lieu de k*m (sans toucher les autres x_i), puisque

(k-1)*(m+1)=k*m+k-m-1 > k*m (car k>=l+1 et l+1>=m+2 donc k>=m+2)

Ceci prouve que

max=k^a*l^b avec k>=l+1

3) Si maintenant k>l+1 i.e. k>=l+2, alors pareil, on peut mieux faire avec (k-1)*(l+1)=k*l+k-l-1 >= k*l +1

Ceci prouve que k=l+1, et donc :

max=(l+1)^a*l^b

4) Il reste à trouver l, a et b

max=(l+1)^a*l^b

Et n'oublions pas : a*(l+1)+b*l = S et a+b=n soit

n*l+a=S, a<=n (car a+b=n)

La division euclidienne de S par n donne : S=n*p+q, q
4.1) Si a=n (et donc b=0) alors S=n*(l+1), n divise S est on sait depuis longtemps que le max est (S/n)^n=(l+1)^n=p^n

4.2) Si a
max=(p+1)^q*p^(n-q)

---
Voilà, je pense que c'est bon, sinon merci de me dire où ça cloche.

 

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