Exercice MPSI rigolo
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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egan
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par egan » 31 Aoû 2009, 12:25
Dans le cas des réels, il faut que tous les réels soient égaux pour que le produit soit maximal ?
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lapras
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par lapras » 31 Aoû 2009, 13:55
Oué c'est ca, l'IAG indique que l'inégalité devient égalité SSI x_1=x_2=...=x_n
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Bouchra
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par Bouchra » 01 Sep 2009, 07:10
Bonjour,
Pour le max avec x_i entiers :
Déjà si S max=0
si S/n entier ----> max=(S/n)^n
Si on écrit dans les autres cas (S>n et S non entier) : S=n*p+q (q0)
Alors je propose (pas sûr) : max = (p+1)^q*p^(n-q)
La formule marche pour les cas précédents.
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lapras
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par lapras » 01 Sep 2009, 09:07
salut,
quelles sont les idées derriere cette formule ? (je ne sais pas si elle est bonne, je pense pas)
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Bouchra
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par Bouchra » 01 Sep 2009, 12:54
Au début j'avais pensé à d'autres formules, et puis je me suis dit qu'il faut éviter d'avoir des 1 quand c'est possible (puisque r*12), et aussi il faut pas que les x_i soient trop dispersés, et étant donné S, S= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... +1, j'ai partagé les 1 entre les x_i comme ça par exemple :
- Code: Tout sélectionner
x_1 x_2 x_3 ... x_n
1 1 1 1
1 1 1 1
.
.
.
1 1
---------------------
p+1 p+1 p ... p
D'où la formule.
Mais tu dis que tu penses pas que ce soit la bonne formule, t'aurais un contre exemple stp, j'en ai pas croisé en faisant quelques tests.
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Bouchra
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par Bouchra » 07 Sep 2009, 13:14
Bonjour,
Désolée de remonter le topic, mais ne trouvant pas de contre exemple, j'ai eu ce matin une idée de démonstration pour la formule que j'ai donnée :
Donc comme je disais :
Si n>S ---> max=0
Si n=S ---> max=1
Si n
Maintenant
1) Si S>2n alors on peut éviter les 1, le maximum est obtenu pour des x_i tous différents de 1 (puisque r*1<(r-1)*2 pour r>2).
2) De plus, les x_i ne peuvent prendre trois valeurs distinctes, en effet :
Si on a (après réordonnement) :
x_1=k
x_2=l
x_3=m
avec k>l>m
alors on peut mieux faire avec
(k-1)*(m+1) au lieu de k*m (sans toucher les autres x_i), puisque
(k-1)*(m+1)=k*m+k-m-1 > k*m (car k>=l+1 et l+1>=m+2 donc k>=m+2)
Ceci prouve que
max=k^a*l^b avec k>=l+1
3) Si maintenant k>l+1 i.e. k>=l+2, alors pareil, on peut mieux faire avec (k-1)*(l+1)=k*l+k-l-1 >= k*l +1
Ceci prouve que k=l+1, et donc :
max=(l+1)^a*l^b
4) Il reste à trouver l, a et b
max=(l+1)^a*l^b
Et n'oublions pas : a*(l+1)+b*l = S et a+b=n soit
n*l+a=S, a<=n (car a+b=n)
La division euclidienne de S par n donne : S=n*p+q, q
4.1) Si a=n (et donc b=0) alors S=n*(l+1), n divise S est on sait depuis longtemps que le max est (S/n)^n=(l+1)^n=p^n
4.2) Si a
max=(p+1)^q*p^(n-q)
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Voilà, je pense que c'est bon, sinon merci de me dire où ça cloche.
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