Logique

par **guigui51250** » 05 Sep 2009, 10:05

Bonjour
J'ai du mal sur une question de maths dans le cours de logique-raisonnement.
Il faut montrer que pour n supérieur ou égal à 24, il existe des entiers naturels a et b tel que n=5a+7b
J'ai essayé avec le pgcd, un peu comme on fesait en terminale avec au+bv=g mais je n'ai rien trouvé de convainquant.
Je ne veux pas la réponse mais juste savoir quel type de raisonnement il faut utiliser. J'ai aussi essayé la récurrence mais je ne trouve rien non plus.
Merci d'avance.

par **le_fabien** » 05 Sep 2009, 10:50

Salut guigui ,
si il existe a et b entiers tels que 5a+7b=n
J'ai pensé à developper 5(a+3)+7(b-2) ou 5(a-4)+7(b+3).
Cela me fait à chaque fois n+1.

par **guigui51250** » 05 Sep 2009, 11:04

Ok merci fabien pour ton conseil

par **le_fabien** » 05 Sep 2009, 11:06

Après il faudrait montrer que (b-2) et (a-4) sont entiers naturels.

par **Ericovitchi** » 05 Sep 2009, 13:03

Un peu dans le même esprit de ce que vous avez déjà trouvé :

montrons que si un nombre n est atteint alors n+2 est atteint aussi :
si n est atteint alors il existe a et b tel que n=5a+7b
prenons alors le nombre obtenu avec b+1 et a-1 , c'est n+2

Comme 24 et 25 sont atteint, tous les nombres seront atteints. Le seul cas à montrer c'est que ça marche quand même dans le cas où a=0 (comme 28 = 0 x 5 + 4 x 7) qui va bien générer son 30 = 6x5 + 0x7)
Dans ce cas la réponse est de dire que si l'on est dans le cas d'un n=0x5+ 7k alors 7k+2 = 7(k-1)+5 marche

par **Nightmare** » 05 Sep 2009, 13:45

Salut !

Je ne comprends pas la difficulté, le théorème de Bezout donne l'existence de a' et b' tels que 5a'+7b'=1

En multipliant par n :
5(a'n)+7(b'n)=n

les nombres a=a'n et b=b'n répondent au problème non?

par **le_fabien** » 05 Sep 2009, 13:51

Nightmare a écrit:Salut !

Je ne comprends pas la difficulté, le théorème de Bezout donne l'existence de a' et b' tels que 5a'+7b'=1

En multipliant par n :
5(a'n)+7(b'n)=n

les nombres a=a'n et b=b'n répondent au problème non?

Salut ,
bien sur mais comme il voulait des entiers naturels...

par **Nightmare** » 05 Sep 2009, 13:51

Ah ! Voila ce que j'avais raté dans l'énoncé.

Au temps pour moi.

par **busard_des_roseaux** » 05 Sep 2009, 14:31

on suppose

on divise n par 7
n=7q+r avec

et r=0;1;2;3;4;5;6

si r=0 ou 5, c'est gagné.
sinon q'=q-1
n=7q'+(7+r) . si r=3 c'est gagné
sinon q'=q-2
n=7q'+(14+r) . si r=1 ou 6, c'est gagné
sinon q'=q-3
n=7q'+(21+r). si r=4, c'est gagné.
sinon q'=q-4
n=7q'+(28+r). si r=2, c'est gagné.

restent à traiter les quatre cas : n= 24,25,26,27 à la main:
n=25, c'est fini.

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