Demande de comfirmation

[noueljoan]

bonjour à tous, voilà, mon prof de MPSI nous a donné une feuille d'exos , et je suis tombé sur un exercice fort intéressant:


soit z= (1+cos(téta)+isin(téta))/(1-cos(téta)-isin(téta)), calculer le module et un argument de z.

Donc j'ai simplifier cette expression de z par z= ( 1+e^i(téta))/(1-e^i(téta)) puis j'ai utilisé la factorisation par l'exponentielle du demi argument , ce qui , après simplifications me donne z=i*1/tan((téta)/2), dans ce cas le module serait égal à
1/tan((téta)/2) mais par contre j'ai du mal avec l'argument car il faut prendre en considération les valeurs de téta, négatives ou positives donc mes questions sont les suivantes:

-Ma simplification est elle exacte?
-Comment différencier les deux cas possibles pour obtenir un argument de z?


je vous remercie d'avance pour vos réponses

[charlol]

je n'ai pas vérifié ta simplification. Mais deja tu as un probleme dans ton ensemble de definition : ton expression de depart est definie sur R-{2kpi,k€Z} alors que ton expression d'arrivée ne l'est que sur R-{kpi,k€Z}. z=0 dans les cas enlevés, donc on étudie maintenant z sur R-{kpi,k€Z}.

Pour l'argument, z est un imaginaire pure, on étudie le signe de tan(teta/2) :
tan(x)>0 ssi x€]pi/2+2kpi,pi+2kpi[U]3pi/2+2kpi/2,2pi+2kpi[, k€Z

tan(x/2)>0 ssi x/2€ ]pi/2+2kpi,pi+2kpi[U]3pi/2+2kpi/2,2pi+2kpi[, k€Z

ssi x€ ]pi+4kpi,2pi+4kpi[U]3pi+4kpi,4pi+4kpi[, k€Z

tu fais pareil pour voir ou c'est négatif
et du coup tu sais ou l'argument est pi/2 et ou l'argument est 3pi/2 ( et ou z est nul)

En espérant ne pas avoir dit de bétises :id:
Bonsoir