Salut. :happy3:
1) Le point de branchement est bien en 1. On cherche donc un domaine simplement connexe ne contenant pas 1 (point de branchement), et pas -10 (choix de l'énoncé).
Une manière de procéder est donc de retirer au plan complexe une demi-droite issue de 1, et passant par -10, c'est-à-dire
comme tu l'as proposé.
Je noterai
le domaine obtenu.
2) Choisir une détermination, c'est choisir un domaine simplement connexe, et la valeur en un point particulier. (la valeur ne peut bien sur pas être quelconque, si l'on cherche par exemple à définir la racine carrée, et que l'on fixe la valeur en -1, on ne pourra choisir que i ou -i, pour notre exemple, on a bien
, donc il est tout à fait possible de poser
)
Une fois ce choix fait, toutes les autres valeurs sont entièrement déterminées.
On définit une détermination du logarithme par la formule
, pour
, avec la détermination de l'argument à valeur dans
, et
un entier relatif quelconque. (c'est sur cet entier que l'on va jouer pour faire prendre la valeur voulue à la fonction)
On a donc
pour
Il faut donc trouver un entier
(il y en aura une infinité, mais tous donneront la même fonction, à cause de la périodicité de l'exponentielle) tel que
, et ensuite simplifier un peu l'expression de f. (ce que je note ln ,pour le différencier du log que l'on a défini ici, c'est le logarithme népérien pour les nombres positifs, que tu connais bien)
3) On sait que lorsque l'on fait une coupure, si l'on fait tendre la variable z vers un point de la coupure, la limite sera en général différente selon que l'on fasse tendre z en restant d'un côté ou de l'autre de la coupure.
L'idée est donc, à partir de l'expression de f obtenue à la question de 2), de calculer cette limite.
:happy3: