Exercice MPSI rigolo

par **_-Gaara-_** » 30 Aoû 2009, 19:43

Salut à tous,

alors voilà un petit exercice qui devrait vous plaire :

Quelle est la valeur maximale du produit de n réels positifs dont la somme S est fixée ?

Perso je vous pose ce problème mais je n'y ai même pas réfléchi :zen:
donc pour ceux que ça intéresse amusez vous bien
:hum:

par **lapras** » 30 Aoû 2009, 19:50

salut,
cette valeur maximale est

par **_-Gaara-_** » 30 Aoû 2009, 19:53

logique =)

par **lapras** » 30 Aoû 2009, 19:54

IAG oblige =D

par **Timothé Lefebvre** » 30 Aoû 2009, 19:55

Ah, les petits coquins, je vais manger et hop je vois que Karim poste un truc marrant et que Manu devance tout le monde

Bon alors en partant de

sup ou égal à

j'arrive aussi à P inf ou égal à

.
NB : on a égalité si

par **Timothé Lefebvre** » 30 Aoû 2009, 19:57

lapras a écrit:IAG oblige =D

Aah le copieur

Trop rapide ce lapras

par **lapras** » 30 Aoû 2009, 19:59

grillé :p faut manger devant MF Tim ^^

par **Timothé Lefebvre** » 30 Aoû 2009, 20:00

:ptdr: Papa veut pas ! Si tu négocies avec lui pour que je puisse faire ça je veux bien ! Ce serait tellement cool :zen:

par **egan** » 30 Aoû 2009, 20:28

Je n'arrive pas trop à vous suivre. Vous pourriez m'expliquer s'il-vous-plaît ?

par **lapras** » 30 Aoû 2009, 20:31

salut,
inégalité fondamentale (bcp utilisée aux olympiades) :
(x1 + x2 + ... + xn)/n >= (x1*x2*...*xn)^{1/n}
(à gauche : moyenne arithmétique, à droite : moyenne géométrique)

par **Timothé Lefebvre** » 30 Aoû 2009, 20:32

On procède par inégalité moyenne arithmétique géométrique.

EDIT : tu m'as encore doublé ^^

par **lapras** » 30 Aoû 2009, 20:45

Maintenant meme probleme avec des x_i entiers !

par **egan** » 30 Aoû 2009, 20:49

lapras a écrit:salut,
inégalité fondamentale (bcp utilisée aux olympiades) :
(x1 + x2 + ... + xn)/n >= (x1*x2*...*xn)^{1/n}
(à gauche : moyenne arithmétique, à droite : moyenne géométrique)

Encore un truc très cool à savoir !! ^^
Merci.

par **egan** » 30 Aoû 2009, 20:50

Par contre, j'arrive pas à faire le rapprochement avec le résultat à démontrer.

par **lapras** » 30 Aoû 2009, 20:53

Il est vraiment immédiat.
Tu fixes S=x1+...+x_n
et tu veux rendre maximal p=x1...xn
or p <= (S/n)^n (IAG !) l'égalité ayant lieu ssi x1=...=xn=S/n

par **Timothé Lefebvre** » 30 Aoû 2009, 20:53

_-Gaara-_ a écrit:Perso je vous pose ce problème mais je n'y ai même pas réfléchi :zen:
donc pour ceux que ça intéresse amusez vous bien
:hum:

Petit délinquant va, j'avais même pas lu cette partie de ton post, tu sais qu'on ne doit pas te donner les réponses !

par **lapras** » 30 Aoû 2009, 20:56

Sérieusement le pb avec x_i entiers est plus interessant, et plus astucieux(avec les réels c'est une trivialité quand on connait l'IAG)

par **egan** » 30 Aoû 2009, 21:10

Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris. Ca marche que quand les réels sont égaux ?

par **_-Gaara-_** » 31 Aoû 2009, 06:11

Timothé Lefebvre a écrit:Petit délinquant va, j'avais même pas lu cette partie de ton post, tu sais qu'on ne doit pas te donner les réponses !

J'ai proposé l'exo j'ai pas demandé les rep :/ x)
pour le cas particulier de lapras je ne vois pas l'intérêt vu que c'est démontré pour des réels positifs \ö/

ps: ptet qu'il y a e qui intervient quoique..

par **lapras** » 31 Aoû 2009, 08:42

Heu
notre mx avc des réels est atteint pour x_i=S/n
donc x_i pas forcément entier naturel!
Si tu veux le max avec une contrainte x_i entiers positifs ca devient plus difficile.

Exercice MPSI rigolo

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