LES MËMES dérivées mais après une plus longue réflexion

[darwin47]

bonjour, j'ai tenté de réfléchir en partant de vos remarques et voila ce que cela a donné
1/soit f(x) = ln(1 +x+ x²), 1 + x+ x² étant strictement supérieur à 0 alors f définie sur R
d'où f :R => R
x => ln ( 1+x+x²)
f est également dérivable sur R
f'(x) = (2x+1)/(1+x+x²)
vous êtes d'accord?

2/f(x) = ln (abs( tg x/2))
pour que f soit définie il faut que abs ( tg x/2) soit strictement supérieur à 0 donc x différent de 0 et x différent de pi car la tangente n'existe en pi/2
donc : f : R - (0+2kpi ; pi +2kpi)
x => ln (abs(tg pi/2))
qu'en pensez vous?
2 cas possible pour f :
- soit f(x) = ln(tg x/2) car tg x/2 > 0
<=> (sin (x/2))/(cos(x/2)) > 0 <=> sin (x/2) > 0 et cos (x/2) > 0 soit x/2 appartient à ]0;pi/2[
ou sin(x/2) < 0 et cos (x/2)< 0 soit x/2 apaprtient à ]pi; -pi/2[
f dérivable sur ]0; pi/2[ U ]pi; -pi/2[
f'(x) = (1/2+1/2 tg²(x/2))/(tg (x/2))
- soit f(x) = ln (- tg(x/2)) car tg (x/2) < 0 <=> (sin(x/2))/(cos(x/2)) < 0 <=> sin (x/2))> 0 et cos (x/2)<0 soit x/2 € ]pi/2;pi[
ou sin (x/2) <0 et cos (x/2)> 0 => x/2 € ]-pi/2;2pi[
dans ce cas f dérivable sur ]-pi/2;pi[ U]-pi/2;2pi[
d'où f'(x) = (-1/2-1/2tg²(x/2))/(-tg(x/2)) = (1/2+1/2tg²(x/2))/(tg (x/2))
pff ce fut laborieux j'espère sincèrement que c'est juste

3) f(x) = ln ( x + V(x²+1))
etudions le signe de A(x) = (x +V(x²+1)) A(0) = 1 >0
sur ]-inf;0[ A(x) = x -xV(1/x² +1) = x(1- V(1/x² +1)) or V(1/x² +1) >1 pour x appartenant à ]-inf;0[ ainsi 1-V(1/x²+1)<0 et x<0 produit de 2 qtés négatives = positif
après sur ]0;+inf[ A(x) = x (1+V(1/x²+1)) => positif alors f définie sur R
f dérivable sur R : f'(x) = 1/(V(x²+1)) ok?

4) f(x) = ln( abs ( sin x)) pour que f soit définie il faut que sinx soit différent de 0 dc x différent de 0 et pi
d'où : f : R - {0 +2kpi; pi+2kpi} => R
x => ln abs (sin x)
2 cas possibles pour f :
- soit f(x) = ln sinx car sinx > 0 pour tout x appartenant à ]0+2kpi;pi+2kpi[
dans ce cas f dérivable sur ]0;pi/2[ U ]pi/2;pi[ f'(x) = cosx/sinx = 1/tgx
- soit f(x) = ln(-sinx) car sinx<0 pour tout x appartenant à ]pi+2kpi;0+ 2kpi[
ici f dérivable sur ]0;pi/2[U]pi/2;pi[
f'(x) = -cosx/-sinx = 1/tgx
(j'ai un petit doute pour le signe de la dérivée)

5) f(x) = e (cosx)
f : R=> [e-1;e1]
x => e(cosx)
f dérivable sur R avec f'(x) = -sinx.e(cosx) ?
6) f(x) = e^(e^x) f : R=> R*+
x => e^(e^x)
f dérivable sur R f'(x) = e^x . e^(e^x) c'est juste,
7) f(x) = (e^e)^x = e^xe (e^e) > 0 donc x est un réel
ainsi f : R=> R*+
x=> (e^e)^x
f dérivable sur R f'(x) = e.(e^e)^x

8) f(x) = 2^x² or 2>0 dc x est un réel ainsi f : R => R*+
x=> 2^x²
f dérivable sur R
f(x) = e^(ln2.x²)
f'(x) = 2xln2 . 2^x² = ln4.x.2^x²

9)f(x) = x^x si x >0 alor f est continue mais si x<0 alors il faut que x soit un entier ainsi f n'est pas continue
donc j'ai choisi très arbitrairement : f : R*+ => R+*
x=> x^x
bon si je me trompe ici je me trompe alors sur tout ce qui suis
f dérivable sur ]0;+inf[
f'(x) = (lnx + 1).x^x

10 f(x) = x^(1/x)
x est différent de 0, si x supérieur à 0 alors f est continue (1/x appartenant à R*+)
si x <0 alors f n'est pas continue car il faut que 1/x soit entier
donc j'ai refait la même soupe qu'au 9
f : R*+ => R*+
x => x^(1/x)
f dérivable sur ]0;+inf[ f'(x) = 1/x² . (1-lnx) . x^(1/x)

11) f(x) = (1+1/x)^x f continue lorsque 1/x>-1 donc f : ]-inf;-1[U]0;+inf[ (remarquons quilya quelques valeurs isolées entre -1 et 0
f dérivable sur le même ensemble (g la flemme de le réecrire)
f'(x) = (ln(1+1/x)-(1/x)/(1+1/x)). (1+1/x)^x

12)p f(x) = (lnx)^(lnx)
il faut que x>0 et que lnx>0 donc x>1
ainsi f : ]1;+inf[ => R*+
x=> (lnx)^(lnx)
f dérivable sur le même ensemble.....
or f(x) = e^(ln(lnx).lnx)
d'où f'(x) = 1/x.(1+ln(lnx)).(lnx)^(lnx)
voila je n'en peux plus
pouvez vous me dire si mon raisonnement est juste ou si je suis complètement à coté de la plaque merci d'avance ^^

[mathelot]

bonjour,

pour la dérivée du log, tu te complique la tâche



et 2ln(2) est considéré comme plus simple que ln(4).
sinon le reste a l'air d'aller.

[darwin47]

merci bcp ^^