Une fonction pas trop claire

[reginald]

Bonjour! Je t'invite à aller lire d'urgence le réglement du forum.

j'ai la fonction f(x+Y)=f(x)+f(y)

on me dema de de prouver que f(0)=0 facile
on me demade deuxiemement de montrer que la fonction est impaire en core facile mais mon propbleme se pose la ou on me demande de monter que pour tout n dans N f(nx)=n(fx)
2-f(n)=nf(1).
f(1/n)=1/n*f(1)
pour tour r rationnel f(r)=r f(1)
alors je demanderais volontier a tous leur aide s'il vous plait.

[Clembou]

j'ai la fonction f(x+Y)=f(x)+f(y)
on me dema de de prouver que f(0)=0 facile
on me demade deuxiemement de montrer que la fonction est impaire en core facile mais mon propbleme se pose la ou on me demande de monter que pour tout n dans N f(nx)=n(fx)
2-f(n)=nf(1).
f(1/n)=1/n*f(1)
pour tour r rationnel f(r)=r f(1)
alors je demanderais volontier a tous leur aide s'il vous plait. c'est assez urgent. repondez moi vite!

Bonjour (?)

Je peux t'aider pour la première...

Considère que : n fois et ensuite que . Tu démontres ensuite ta propriété par réccurence...

[Nightmare]

Salut,

On sait que pour tout n, f(nx)=nf(x) et f(1/n)=f(1)/n

Or, un rationnel est de la forme avec p et q entiers.

On a

et
On en déduit que

[Clembou]

On sait que pour tout n, f(nx)=nf(x) et f(1/n)=f(1)/n

Encore faut-il le démontrer :id:...

[Timothé Lefebvre]

Salut,

On sait que pour tout n, f(nx)=nf(x) et f(1/n)=f(1)/n

Salut,

ça m'intéresse aussi ça, comment le démontres-tu ?

[Nightmare]

Il a démontré la première et la deuxième s'ensuit en prenant x=1/n

[Clembou]

Bonjour! Je t'invite à aller lire d'urgence le réglement du forum.

j'ai la fonction f(x+Y)=f(x)+f(y)

on me dema de de prouver que f(0)=0 facile
on me demade deuxiemement de montrer que la fonction est impaire en core facile mais mon propbleme se pose la ou on me demande de monter que pour tout n dans N f(nx)=n(fx)
2-f(n)=nf(1).
f(1/n)=1/n*f(1)
pour tour r rationnel f(r)=r f(1)
alors je demanderais volontier a tous leur aide s'il vous plait.

Que vient faire 2- dans l'expression ?? Est-ce que ce serait la deuxième question ?

[Clembou]

Désolé pour le multipost :

Question subsidiaire pour Tim : Quelles fonctions vérifient cette propriété : ?

[mathelot]

bonjour,

contre-exemple:
si on considère comme espace-vectoriel, que l'on complète le nombre en une base
la projection "1ère coordonnée" , sur le 1er vecteur de base, est linéaire mais n'est pas continue ni même mesurable.. Il peut donc y avoir des fonctions f ,Q-linéaire, relativement pathologiques.

[Timothé Lefebvre]

Question subsidiaire pour Tim : Quelles fonctions vérifient cette propriété : ?

Yop, merci pour cette équa. fonctionnelle

Je considère la fonction f: Q -> R.
Déjà on aura des fonctions linéaires, la première étant
f(0)=0 à coup sûr. Pour f(1) ça ne se détermine pas, je pose f(1)=a.
Pour f(2)=f(1) + f(1) = 2a. Et pour f(3) = f(2+1) = 3a et donc on a au final f(x+1) = f(x)+a et je tombe sur
f(n) = an par recu pour n supérieur ou égal à 0 dans N.

Bon ensuite on a pour tout x rationnel f(0)=0=f(x)+f(-x) et donc f est impaire, donc notre précédent résultat marche pour tout n entier.

Après il ne me reste plus qu'à montrer par recu que f(nx)=nf(x) et à interpréter mon résultat.

EDIT : erreur corrigée sur la parité.

[Timothé Lefebvre]

Oups, je viens de me rendre compte que si on considère
f : R -> R avec donc x et y dans R c'est pas la même.
Je fais ça comment alors ?

PS : désolé pour le double post.

[JoeLeTaxi]

Si $f$ est mesurable, $f$ est forcément de la forme $ax$. La fonction donnée par mathelot n'est pas mesurable. Il faut vraiment du pathologique.

[Nightmare]

Une fois qu'on arrive à f(r)=rf(1) pour r rationnel il reste à généraliser à f(x)=xf(1) pour x réel en utilisant la densité des rationnels dans R :

Soit x un réel, il existe une suite (rn) de rationnels convergeant vers x.

On a pour tout n , et en passant à la limite (en supposant f continue, sinon on ne peut rien dire) on obtient

[Nightmare]

Si $f$ est mesurable, $f$ est forcément de la forme $ax$. La fonction donnée par mathelot n'est pas mesurable. Il faut vraiment du pathologique.

Comment prouves-tu qu'une fonction mesurable et vérifiant l'hypothèse est linéaire? Il me semble qu'on peut prouver qu'elle est forcément continue déjà.

[Timothé Lefebvre]

Oups, je viens de me rendre compte que si on considère
f : R -> R avec donc x et y dans R c'est pas la même.

Je rédige ça ce soir et je vous le poste pour confirmation.

[JoeLeTaxi]

Comment prouves-tu qu'une fonction mesurable et vérifiant l'hypothèse est linéaire? Il me semble qu'on peut prouver qu'elle est forcément continue déjà.

En effet, elle est forcément continue. Ce n'est pas évident du tout à prouver.J'ai trois fichiers à ce sujet sur mon PC. Stefan Banach le prouve dans l'article: sur l'équation fonctionnelle f(x+y) = f(x) +f(y). Deux pages mais c'est du concentré. Il doit y avoir plus récent.

[Timothé Lefebvre]

Alors, pour f : R -> R. On considère f continue (monotone).

D'après le cas traité ci-dessus, on a vu que pour tout rationnel r on a f(r)=rf(1).
On pose la suite dont parlait Nightmare : soit x un réel et la suite de rationnels qui converge vers x.
Donc : et la limie de la fonction définie par cette suite en plus l'infini est xf(1). Et vu que f est continue en x, la limite en plus l'infini de vaut f(x). Au final, f est bien linéaire sur R car f(x)=xf(1).

Ensuite, f monotone, croissante ou décroissante, on pose aussi deux suites (une croissante et l'autre décroissante) de rationnels qui convergent vers x. Et comme f est croissante (par exemple) on a
[ est ma suite croissante]. On observe que f(x)=xf(1) quand n converge vers + l'infini. On a donc bien f linéaire sur R.

Y a-t-il d'autres solutions ?