Barycentres

[moumoune12]

Bonjour ,
J'ai énormément besoin d'aide car je n'arrive point à cet exercice alors si vous pouviez me mettre sur la piste ou m'expliquer s'il vous plait !
Voici l'énoncé :
Soient A, B , C , D quatre points distincts deux à deux du plan ( PS : je ne comprend pas l'expression distincts deux à deux donc je n'arrive pas à construire la figure pour m'aider !)

1. Montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si D est le barycentre des points [(A,1); (B,-1); (C,1)]

2. On suppose que ABCD est un parallélogramme. Déterminer l'ensemble (S) des points M du plan tels que :

|| vecteur MA - vecteur MB + vecteur MC || = BD

3. On suppose que ABCD est un rectangle. Montrer que pour tout point M du plan

MA² -MB² + MC² = MD²

(PS: je sais qu'il faut utiliser la formule tels que P et Q des points du plan tel que PQ²= vecteur PQ² = vecteur PQ . Vecteur PQ

Determiner l'ensemble E es points M du plan tels que :

MA² - MB² + MC² = BD²

Voila alors si vous pouviez m'aider je vous en remercierai beaucoup car là j'ai vraiment du mal.

Merci d'avance
Cordialement

[mathelot]

Bonjour

1. Montrer que ABCD est un parallélogramme si et seulement si D est le barycentre des points [(A,1); (B,-1); (C,1)]

on utilise la propriété habituelle

G est barycentre si et seulement si
pour tout point M du plan


applique cette identité avec G=D

|| vecteur MA - vecteur MB + vecteur MC || = BD

simplifier la somme vectorielle en l'exprimant avec le barycentre D.
on devrait trouver un cercle.


3. On suppose que ABCD est un rectangle. Montrer que pour tout point M du plan

MA² -MB² + MC² = MD²

l'idée est d'écrire que
ie, les carré des normes sont des carrés scalaires
et comme ABCD est un rectangle, avec des angles droits, en développant
les produits scalaires, un certain nombre de produits seront nuls.

Determiner l'ensemble E es points M du plan tels que :

MA² - MB² + MC² = BD²

décomposer les vecteurs par Chasles en passant par le barycentre D.



a-priori, on devrait trouver aussi un cercle.

[moumoune12]

Je vous remercie vous m'avez permi de comprendre comment procéder pour y arriver ce qui n'est pas toujours simple après 2 mois de vacances sans cours ...

Merci

[moumoune12]

Bojour , j'ai donc procédé aincipour la première question

MA-MB+MC=MD
(MD+DA)-(MD+DB)+(MD+DC)=MD
MD+DA-MD-DB+MD+DC=MD
DA-DB+DC=VECTEUr nul

Bien sur toute cette expression avec des vecteurs !

Donc D est le barycentre des points (A;1) , (B;-1) et (C;1)

Donc si D est le barycentre de ces points
alors
AD= -1 /(1-1+1)AB + (1/(1-1+1)AC = -AB+AC = BA+AC = BC

Donc AD=BC dc les vecteurs sont colinéaires et par définition deux vecteurs colinéaires ont meme direction , meme norme , meme sens!

CD= 1/(1-1+1)CA + -1/(1-1+1)CB = CA-CB= CA+BC= BC+CA=BA

Donc CD=BA dc les vecteurs sont colinéaires ...

Ainsi si et seulement si D est le barycentre de ces points alors ABCD est un parallélogramme car les vecteurs AD et BC ainsi que CD et BA sont colinaires.

Est ce que cela est correct?

[moumoune12]

pour determiner l'ensemble S des pts M du plan j'ai procédé de cette façon

Je raisonne par équivalence

M appartient à S <=> ||(1-1+1)vecteur MD ||= BD
<=> || vecteur MD || = BD
<=> MD=BD

Donc M appartient à S lorsque (A; 1BD)

Donc j'ai calculé pour construire D
et j'ai tracé le cercle de rayon BD

est ce juste ?

[moumoune12]

MA²-MB²+MC² = MD²
(MD+DA)²-(MD+DB)²+(MD+DC)² = MD²
MD ² +DA²-MD²+DB²+MD²+DC²=MD²
MD²+DB²+DC.DC= MD²
DB²=MD²-MD²
DB²=0

l'ensemble E des pts M du plan et un cercle de diamètre DB mais je n'en suis pas certaine je pense meme qu'il ya une erreur mais je n'ai pas trouvé quoi ?