Ericovitchi a écrit:Ha oui JJa, j'avoue que la lecture des démonstrations en dimension n valent coup d'il. Il faut vraiment de la persévérance pour en plus démontrer la limite de L/R quand le nombre de dimensions devient infini. Heureusement que l'on ne rencontre pas tous les jours des hyperchèvres :ptdr:
Bonjour.
Pour la limite L/R=
en dimension infinie, il y a un argument assez simple, découlant du fait qu'une hyperboule en dimension très grande a tout son volume 'concentré' près de sa surface.
En effet, soit n la dimension de l'espace. Le volume de la boule de rayon R s'écrit
,
où
est un constante dépendant uniquement de n. Il s'ensuit donc que pour tout rayon r plus petit que R, on a
,
qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. Ce qui revient à dire qu'en dimension infinie, tout le volume de la boule se concentre à sa surface, c'est à dire la
sphère de rayon R !
Par conséquent, le problème lorsque n tend vers l'infini peut se reformuler comme
"Soit une vache se promenant sur une sphère de rayon R. Quel longueur L donner à sa corde pour qu'elle puisse brouter la moitié de la surface de la sphère ?"
Et dans ce cas, la réponse est
(indépendemment de la dimension n : par exemple c'est vrai pour un cercle en dimension 2).
Voili voilou,
à+,
Noucho