Partie entière

[lehder]

Bonjour tout le monde,

Voilà j'ai un exercice résolu que je n'arrive pas à comprendre concernant la fonction partie entière:



-Montrez que f(x) est continue sur R.

Voilà le corrigé:

1)-

2)-Etudions la continuité de f sur R:

-Si [SIZE="2"](??? pourquoi avoir choisi ce domaine)[/SIZE] (avec ) donc on E(x)=k donc donc f est continue sur car c'est un pôlynome;
Donc f est continue sur tout intervalle de forme , donc k est continue sur et continue à droite des nombres relatifs[SIZE="2"](??? pourquoi)[/SIZE];

-Il nous reste d'étudier la continuité à gauche des nombres relatifs:[SIZE="2"](???pourquoi)[/SIZE]
Soit , étudions la la continuité de f à gauche de k:
On a , et on a , on a E(x)=k-1 (car x tend vers ) donc ,

Donc f est continue à gauche de k,

Donc f est continue à gauche des nombres relatifs[SIZE="2"](??? pourquoi)[/SIZE], donc f est continue sur

J'ai écrit ce que je ne n'arrive pas à comprendre entre parenthèses en italique accompagné d'un pourquoi, pouvez-vous m'aider?

Et merci en tout cas.

[struett]

Salut à toi!

Bonjour tout le monde,

Voilà j'ai un exercice résolu que je n'arrive pas à comprendre concernant la fonction partie entière:



-Montrez que f(x) est continue sur R.

Voilà le corrigé:

1)-

2)-Etudions la continuité de f sur R:

-Si [SIZE="2"](??? pourquoi avoir choisi ce domaine)[/SIZE] (avec )

Choisir ce domaine permet de déterminer en effet,

donc on E(x)=k donc donc f est continue sur car c'est un pôlynome;
Donc f est continue sur tout intervalle de forme

, donc k est continue sur et continue à droite des nombres relatifs[SIZE="2"](??? pourquoi)[/SIZE];

Ici, ils ont étudié la continuité de . On voit qu'elle est continue intervalle par intervalle. Maintenant le problème, c'est qu'il ne doit pas y avoir de "saut" quand on passe d'un intervalle à l'autre. Ce passage s'effectue quand à . Ainsi, il faut étudier la continuité quand x tend vers k. Or, on a vu que f est continue sur l'intervalle , comme cet intervalle es fermé à gauche, on sait que si on tend vers k par la droite, on a une limite. Ce qu'il faut maintenant prouver, c'est que quand x tend vers k par la gauche, on obtient la même limite, i.e,

-Il nous reste d'étudier la continuité à gauche des nombres relatifs:[SIZE="2"](???pourquoi)[/SIZE]
Soit , étudions la la continuité de f à gauche de k:
On a , et on a , on a E(x)=k-1 (car x tend vers ) donc ,

Donc f est continue à gauche de k,

Donc f est continue à gauche des nombres relatifs[SIZE="2"](??? pourquoi)[/SIZE], donc f est continue sur

J'ai écrit ce que je ne n'arrive pas à comprendre entre parenthèses en italique accompagné d'un pourquoi, pouvez-vous m'aider?

Et merci en tout cas.

Ici ils ont justement montré que , ce qui implique que f est continue en k pour tout k relatif.

Voilà, en espérant que je t'ai aidé,

Struett

[lehder]

Salut à toi!



Choisir ce domaine permet de déterminer en effet,




Ici, ils ont étudié la continuité de . On voit qu'elle est continue intervalle par intervalle. Maintenant le problème, c'est qu'il ne doit pas y avoir de "saut" quand on passe d'un intervalle à l'autre. Ce passage s'effectue quand à . Ainsi, il faut étudier la continuité quand x tend vers k. Or, on a vu que f est continue sur l'intervalle , comme cet intervalle es fermé à gauche, on sait que si on tend vers k par la droite, on a une limite. Ce qu'il faut maintenant prouver, c'est que quand x tend vers k par la gauche, on obtient la même limite, i.e,



Ici ils ont justement montré que , ce qui implique que f est continue en k pour tout k relatif.

Voilà, en espérant que je t'ai aidé,

Struett

Un très grand merci STRUETT

[mathelot]

bonjour,

la fonction g(x)=E(x)+(x-E(x))=x
est l'identité et sa courbe la 1ère bissectrice du repère, d'équation y=x.

f est (presque) périodique
f(x+k)=f(x)+k

et sa courbe , sur R+, est la reproduction de l'arc de parabole ,défini sur [0;1] ,arc reproduit par translation de pour joindre les points de coordonnées entières
à