Voila je dois calculer les deux limites suivantes:
1)-
2)-
Je ne vois pas quoi faire? Comment simplifier 1-coxcos2x...cosnx?
Pouvez-vous m'aider?
Et merci en tout cas
Limite
17 messages
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par girdav » 25 Aoû 2009, 08:23
Bonjour.
Pour la première:
on a)
au voisinage de 
donc
 = 1-\frac{k^2x^2}2+o\(x^2\))
et
\cos\(jx\) = \(1-\frac{k^2x^2}2+o\(x^2\)\)\(1-\frac{j^2x^2}2+o\(x^2\)\)<br />=1-\frac{\(k^2+j^2\)x^2}2+o\(x^2\))
donc tu peux déduire )
.
L'ennui est que je ne sais pas si tu connais les développements limités, étant donné que ce post fait partie de la section lycée.
Pour la seconde on procède de la même façon:
 = 1-\frac{k^3x^2}2 + o\(x^2))
Pour la première:
on a
L'ennui est que je ne sais pas si tu connais les développements limités, étant donné que ce post fait partie de la section lycée.
Pour la seconde on procède de la même façon:
par lehder » 25 Aoû 2009, 08:26
girdav a écrit:Bonjour.
Pour la première:
on a
L'ennui est que je ne sais pas si tu connais les développements limités, étant donné que ce post fait partie de la section lycée.
Pour la seconde on procède de la même façon:
Non je ne connais pas les developpements limités.
Je n'arrive pas à comprendre
par girdav » 25 Aoû 2009, 08:33
Dommage, les calculs s'arrangent bien. Je vais essayer de trouver autre chose.
Il est tiré d'où cet exercice?
Il est tiré d'où cet exercice?
par sky-mars » 25 Aoû 2009, 10:59
Salut
essaie d'utiliser les formules de moivres pour calculer le produit de cosinus
essaie d'utiliser les formules de moivres pour calculer le produit de cosinus
par Ericovitchi » 25 Aoû 2009, 11:06
J'ai peur que ça ne marche pas. Il y a la formule
 = \frac{1}{2^{n}}.\frac{sin(x)}{sin(\frac{x}{2^{n}})})
qui n'est pas très difficile à démontrer mais )
je n'ai pas trouvé.
par lehder » 25 Aoû 2009, 11:16
girdav a écrit:Dommage, les calculs s'arrangent bien. Je vais essayer de trouver autre chose.
Il est tiré d'où cet exercice?
Il est tiré d'un cours de limites et continuité.
par Ericovitchi » 25 Aoû 2009, 11:19
Heu non car dans le 
il n'y a pas que le produit de cos dans la partie réelle. Suppose par exemple que dans le produit (cos x+ i sin x)(cos 2x + i sin 2x)( ... )
tu prennes 2 termes en i sin et tout le reste en cos ça fait un autre terme réel genre -sin x sin 2x cos 3x cos 4x ....
tu prennes 2 termes en i sin et tout le reste en cos ça fait un autre terme réel genre -sin x sin 2x cos 3x cos 4x ....
par sky-mars » 25 Aoû 2009, 11:20
ouais je viens de m'en rendre compte !
Quel benêt que je suis ! on somme mais pas de produit !
Quel benêt que je suis ! on somme mais pas de produit !
par girdav » 25 Aoû 2009, 11:28
lehder a écrit:Non je ne connais pas les developpements limités.
Je n'arrive pas à comprendre, comment as tu fait?
Tout est expliqué ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_limit%C3%A9. Si tu as besoin d'explications n'hésite pas.
Le
par Ericovitchi » 25 Aoû 2009, 11:31
J'ai trouvé une autre méthode mais ça ne sera pas au programme des terminales non plus. Ca consiste à utiliser 2 fois la règle de l'hopital :
}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a}\frac {f'(x)}{g'(x)}= \lim_{x \rightarrow a} \frac {f"(x)}{g"(x)})
parce que dans le f"(x) tous les termes bizarres qui ont des sinus s'annulent et il ne reste que ceux pour lesquelle on a dérivé le même cosinus deux fois en -ksin (kx) cos(...) cos(...) la première fois puis en  cos(...))
la seconde fois
on retombe sur la somme de
trouvé par girdav et le 2 du dénominateur est obtenu en dérivant 2 fois 
on retombe sur la somme de
par girdav » 25 Aoû 2009, 11:40
Mais en fait c'est équivalent au développement limité, puisque à un coefficient 
près (qui d'ailleurs se retrouve heureusement avec la dérivée seconde de ) , on trouve la valeur de la dérivée seconde.
Mais je ne vois pas comment la résoudre avec que des trucs vus avant le bac.J'essaie de ma ramener à des limites connus, sans succès pour l'instant.
Une récurrence sur
ne semble pas marcher.
Mais je ne vois pas comment la résoudre avec que des trucs vus avant le bac.J'essaie de ma ramener à des limites connus, sans succès pour l'instant.
Une récurrence sur
par Skullkid » 25 Aoû 2009, 12:37
Bonjour, on peut s'en sortir en écrivant :
\cdots\cos(nx)}{x^2}= \frac{1-\cos(kx)}{x^2}+\cos(kx) \frac{1-\cos((k+1)x)\cdots \cos(nx)}{x^2})
L'existence de la limite
du membre de gauche en découle et on a pour tout k < n, 
. Le calcul de 
et une récurrence descendante donnent bien 
.
Pour la deuxième, même genre d'astuce :
\cdots \cos^n (nx)}{x^2}= \frac{1-\cos^k(kx)}{x^2}+\cos^k(kx)\frac{1-\cos^{k+1}((k+1)x)\cdots \cos^n(nx)}{x^2})
Le premier terme du membre de droite tend vers
(on peut étudier la limite de }{x^2})
avec le même type d'écriture que plus haut, et faire une récurrence sur p...). Et au final la limite cherchée doit donner du 
aux erreurs de calcul près.
Ça me semble bien compliqué pour du lycée...
L'existence de la limite
Pour la deuxième, même genre d'astuce :
Le premier terme du membre de droite tend vers
Ça me semble bien compliqué pour du lycée...
par Ericovitchi » 25 Aoû 2009, 12:58
:shock: Houlala bravo Skullkid. Il fallait avoir l'idée. je n'aurais jamais trouvé un truc pareil. :biere:
par girdav » 25 Aoû 2009, 14:22
Belle méthode en effet!
Mais vivent les développements limités quand même!
Mais vivent les développements limités quand même!
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