Rechercher un fonction

[perlman]

salut,
Monter que (a ln ) a réel sont les seules application continues sur l'ensemble des réels positifs strictement tq
f(xy)=f(x)+f(y).
Merci .
ps: ln logarithme népérien

[girdav]

Bonjour.
On peut démontrer que puis utiliser la continuité de .

[lapras]

Salut girdav, tu peux conclure avec cette relation ??
Sinon je montre d'abord que f est dérivable sur R+*. En effet tu integres en x des deux cotés de la relation en utilisant le th. qui dit qu'une fonction continue admet toujours une primitie.
Puis tu dérives des deux cotés de la relation initial.
Tu poses g(x)=f'(x)*x
montre ensuite que g(x)=cst.
fini maintenant ! :we:

[skilveg]

Salut lapras,
Oui, tu peux conclure par densité de dans .

[perlman]

Bonjour,
Dans la relation f(x^r)=rf(x) il n y a pas l'intervention du ln mais je vois le raisonnement du genre montrer que f(x)=a*lnx sur Q puis utiliser la continuité mais en faite j'arrive pas à la montrer sur Q.
et pourquoi x*f'(x) serai une constante?

[perlman]

exact lapas x*f'(x) est une constante .
merci

[skilveg]

montrer que f(x)=a*lnx sur Q

Ce n'est pas vraiment sur mais plutôt sur quelque chose comme .

[lapras]

Non ma question n'était pas de conclure que la relation est vraie pour tout r, mais comment utiliser ta relation.
Enfin c'est pas bien compliqué,
soit f(e^x)=xf(e) (c'est vrai pour tout x par densité de Q dans R) => f(x)=ln(x)*f(e)
fini.

[girdav]

Bonjour,
Dans la relation f(x^r)=rf(x) il n y a pas l'intervention du ln mais je vois le raisonnement du genre montrer que f(x)=a*lnx sur Q puis utiliser la continuité mais en faite j'arrive pas à la montrer sur Q.

Tu peux déjà la montrer pour .
Après, tu as donc
pour .
Comme tout réel est limite d'une suite de rationnels on déduit que
et en écrivant on obtient ce qu'il faut.