Dérivées

[darwin47]

bonjour je vais en prépa MPSI en septembre et on m'a donné quelques devoirs pour la rentrée.
j'ai des petits problèmes de dérivation pouvez vous m'aider svp?

il s'agit de déterminer l'ensemble de définition et la dérivée des fct suivantes

a) f(x) = x^x
b) f(x) = x^ln(x)
c) f(x) = x^(1/x)
d) f(x) = ln(x)^ln(x)
e) f(x) = (1 + 1/x)^x
f) f(x) = ln (valeur absoulue de tg x/2)
g) f(x) = ln ( x + V(x^2+1))


mes réponses (un peu fumeuses...)

a) f : R => R*
x => x^x
f(x) = x^x = e^xln(x)
f'(x) = (ln(x) + 1).e^(xln(x)) = (lnx + 1).x^x (je me suis servie de la déf du cours pour la fct puissance)

b) f : R+* => R+*
x => x^lnx
ici j'ai essayé de faire comme au a) mais je n'y arrive pas : f(x) = e^lnx.lnx n'est pas égal à x^lnx

c) f : R* => R*
x => x^(1/x)
f(x) = x^(1/x) = e^1/x.lnx ( même démarche qu'au a) )
f'(x) = 1/x² . (1-lnx) . x^(1/x) (ce résultat me semble bizarre!!!!)

d) f : R+* => R+*
x => lnx ^lnx
alors là pour la dérivée je suis en manque d'idées

e) f : R* => R*
x => (1 + 1/x) ^x
f(x) = (1+1/x)^x = e^ln(1+1/x).x
f'(x) = (ln(1+1/x) - x/((1/x²). (1+1/x))) . (1+1/x)^x (pas très esthétique tout ça

f) pour celle j'ai un pb avec l'ensemble de définition je sais que tg (/2) n'existe pas en radians mais lorsque que je le tape sur ma calculette en degré => ça marche pffffffff je suis un peu embrouillée là
pour la dérivée : le pb vient de la valeur absoulue je sais pas trop quoi en faire
f'(x) = 1/(2.(1+cos²(valeur abs x/2)).tg (valeur abs x/2))
bof bof bof

g) là mon pb c'est l'ensemble de définition je sais intuitivement que x + V(x²+1) est positif mais je ne sais pas le démontrer pourtant j'ai calculer jusqu'à la dérivée seconde et tout le bazar mais ça patouille


bon je vous envoie mes autres questions sur les autres exos après avoir réfléchi un peu plus
ps : MERCI d'avance

[xyz1975]

D'une manière générale a un sens si et seulement si et

L'ensemble de définition de la première est incorrecte si j'ai bien lu :

f est définie si et seulement si soit

[Ericovitchi]

tu sembles gêné par les dérivées de la forme ?



par exemple je t'en fais une : la dérivée de

[Black Jack]

a)
Df n'est pas R
Essaie avec x = -1,1 pour voir.

c)
Df n'est pas R*
Essaie avec x = -1,1 pour voir.

d)
Df n'est pas R+*
Essaie avec x = 0,61 pour voir.

e)
Df n'est pas R*
Essaie avec x = -0,21 pour voir

f)
Il faut que tg(x/2) soit différent de 0 et donc ...

g)
Il faut que (x + V(x²+1)) > 0 et donc ...

:zen:

[Ericovitchi]

je sais intuitivement que x + V(x²+1) est positif mais je ne sais pas le démontrer

Effectivement : ce qui a l'air assez évident.

[darwin47]

marci boucoup j'ai eu un vrai déclic encore merci et à bientôt