Polynôme et récurrence

[Jack the ripper]

Bonjour.

Soit et


1)Sans déterminer a et b, calculer P(O), P(1) et P(-1).
2) Calculer a et b en tuilisant les résults précédents. ( on trouvera et ).
3) a)Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, P(n) est entier.
b) On pose et pour tout entier naturel n supérieur à 1 .
Démontrer que pour tout eniter naturel n, on a les égalités

Je n'ai pas encore essayé la question 3 car je bloque à la 2.
Je trouve , et

En utilisant , j'obtiens :
, ,
, e t
Par ailleurs j'ai en combinant mes deux P(0).
Voilà ce que j'ai trouvé et je n'arrive pas à ainsi déterminer a et b. Merci d'avance,

[Switch87]

Utilise plutôt P(x+1)=P(x)+x² pour calculer P(1), P(0) et P(-1).
Bonne chance!

[busard_des_roseaux]

bonjour,

on cherche un polynome P de degré 3 tel que



si un tel polynôme existe, la somme

est téléscopique
et se calcule aisément.

on cherche donc P avec des coefficients inconnus sous la forme


il reste à évaluer P(x+1) et déterminer les coefficients.

hint: utiliser l'identité binomiale:


On peut itérer et chercher un polynome Q de degré 4 tel que


la famille de polynômes que l'on obtient ainsi sont les polynômes de Bernoulli.

Ils vérifient de nombreuses propriétés extrêmement intéressantes
et interviennent dans de nombreux domaines , comme le DL
de tangente(), le calcul de ou des identités
de calcul formels ainsi qu'en topologie algébrique (nombres de Bernoulli)

[egan]

Les polynômes de Bernouilli sont définis sur quel ensemble ?

[busard_des_roseaux]

les polynômes sont définis sur
leur degré vaut 0;1;2.3;4...içi

[egan]

C'est un exemple de ce que l'on appelle les suites de fonctions non ?

[busard_des_roseaux]

C'est un exemple de ce que l'on appelle les suites de fonctions non ?

oui, tout à fait. En général, les suites de fonctions s'étudient du point de vue topologique,ie, c'est à dire en utilisant une notion de distance.

Par exemple, les courbes représentatives d'une suite de fonctions , de domaine de définition un intervalle [a;b] fixe,
vont finir par se rapprocher d'une courbe limite, représentative d'une fonction f, quand l'entier devient grand.

On parle alors de convergence uniforme de la suite de fonctions
vers la fonction f.

Concernant les polynômes de Bernoulli, ce n'est pâs le même aspect qui
intéresse. Ces polynômes ont en commun des propriétés algébriques
qui permettent d'effectuer des calculs formels (un peu comme les identités remarquables, si tu veux)

[egan]

A quel niveau d'études étudie-t-on cela ?
Ca a l'air bien.

[busard_des_roseaux]

oui, Bac+1

[egan]

Ca va commencer à devenir drôle tout ça. ^^
Question hors sujet, j'arrête après, quand est-ce qu'on aborde les thores (je ne sais pas comment ça s'écrit, désolé) ?

[busard_des_roseaux]

euh, les tores, ça devient intéressant quand on fait la théorie générale
des surfaces. (on appelle les surfaces des "variétés")

il y a les sphères, les tores, les cylindres et d'autres , non orientables,
comme certains espaces projectifs, la bouteille de Klein ou le ruban de Moëbius..

Quand on se promène dans un espace non orientable,on fait une promenade
hors de chez soi et, rentrant à la maison , main gauche et main droite ont
été échangées. :zen:

il faut attendre Bac+4 malheureusement.

[Jack the ripper]

Utilise plutôt P(x+1)=P(x)+x² pour calculer P(1), P(0) et P(-1).
Bonne chance!

Je ne vois pas trop où cela peut m'amener car je ne vois pas d'autres solutions pour les calculs que j'ai déjà fait ....

on cherche donc P avec des coefficients inconnus sous la forme


il reste à évaluer P(x+1) et déterminer les coefficients.

hint: utiliser l'identité binomiale:

J'obtiens une grosse équation qui ne correspond pas du tout aux résultats que l'on cherche !

On peut itérer et chercher un polynome Q de degré 4 tel que

Désolé mais je ne vois vraiment pas comment et pourquoi ...

[geegee]

B onjour,

P(0)=0 (1)
P(1)=1/3+a+b (2)
P(0 )-P(-1)=1 (3)
P(1)-P(0)=0 (4)
P (-1)=-1/3+a-b (5)

d'ou 3) implique P(1)=P(0)=0
d ou 2) implique a+b=-1/3(6)
P(-1)=-1
a-b=-2/3 (8)
(6) + (8 implique 2a=-1
alors a=
(6) implique b=

[geegee]

Bonjour,

Soit Pi la propriété: pour tous i P(i) est entier:

Au rang i=0 P(i)=P(0)=
Supposons P(i) vrai au rang n et montrons que P(n+1) est vrai

[Switch87]

Geegee t'as donné la réponse. Une fois que tu as trouvé P(0)=0, tu remplaces x par 0, puis par -1 dans l'expression P(x+1)-P(x)=x², et tu obtiens P(1)=... et P(-1)=...
Tu utilises les expressions de P(1) et P(-1) que tu avais trouvées pour déterminer a et b.

La suite de l'exercice est bien plus amusante!
Ne t'effraie pas trop devant les concepts abordés par Busard, ce sont de très belles théories et tu les aborderas en temps voulu ;)

[Jack the ripper]

Bonjour.

Concernant le début de l'exercice il s'agissait d'une fâcheuse étourderie qui consistait à ne pas remplacer x par -1, 0 ou 1 dans x² ....

-Pour la question 3 j'ai montré par récurrence que la propriété était vraie - vraie au départ, qu'elle se transmet par hérédité et qu'elle est est donc vraie pour toute valeur de n, n > ou égal à 1 -.

Ceci dit, cela correspond à la question 3)b) mais pas à la 3)a). Mais en quoi consiste la démonstration par récurrence qui montre que pour tout entier n,
P(n) est entier? -cf question 3)a) -. Merci !

[Switch87]

Il faut encore utiliser l'équation P(n+1)-P(n)=n².
Tu sais que la propriété est vérifiée pour n=0, tu as P(n+1)=P(n)+n², le résultat coule de source par récurrence, non?

[Jack the ripper]

Comme elle est vérifiée pour n=0, elle l'est aussi pour tout n entier n > ou égal à 0 et ainsi de suite. Mais la démonstration pa récurrence exige des calculs donc dois-je en refaire pour montrer que P(n+1)=P(n)+n² ?
Quoiqu'il en soit, la propriété est vérifiée d'où P(n) est entier pour tout entier naturel n. Je crois que c'est ça. Merci en tout cas!

[Switch87]

Je ne pense pas que tu aies besoin de plus de calcul que ca, c'est assez évident en fait... Peut être que pour les n<0, il faudrait réécrire 3 lignes, à moins que ce ne soit pas demandé... à toi de voir!

[Jack the ripper]

D'accord, l'exercice est bouclé. Merci bien ! :space: