Le graphe de cette fonction rencontre la droite
en deux points:
0 et
.
La fonction admet un maximum en
, car sa dérivée s'annule (en changeant de signe) en ce point, et la valeur de f en ce point est:
(d'où le domaine de définition de k).
On étudie alors, pour chaque
dans [0;1], la suite récurrente définie par
.
On voit immédiatement sur cet exemple que les points
et
sont des points fixes de
, donc génèrent des suites constantes, égale à 0 pour la première, et égale à
pour la deuxième.
Mais qu'en est il des autres suites engendrées par les autres points
de [0;1]?
Et bien c'est la dérivée
en les points fixes de
qui va déterminer le comportement des suites dans le voisinage de ces points fixes.
Si cette dérivée est en valeur absolue plus petite que 1, alors ce point fixe est attractif;
si cette dérivée est en valeur absolue plus grande que 1, alors ce point fixe est répulsif.
.
Donc
, et
.
On voit alors clairement que:
0 est attractif si 0 < k < 1, et répulsif si 1 < k <= 4.
est attractif si 1 < k < 3, et répulsif si 3 < k <=4
(et en particulier,
n'existe pas dans [0;1] pour 0 <= k < 1).
Chaque valeurs de k pour laquelle un point fixe donné est attractif définit un intervalle (qui dépend aussi de k) voisinage du point fixe considéré, qui est le "bassin d'attraction" de ce point fixe.
Tous les points de ce bassin génère une suite qui converge vers ce point fixe.
(faire un shéma de l'exemple, pour différentes valeurs de k, et étudier la pente de la derivée en les points fixes).
a suivre...