Une petite explication de texte pour tous ceux qui nont pas perdu leur temps un jour, à faire des mathématiques, et que ça intéresse malgré tout, et pour les autres aussi, qui n'ont pas fait que des probas.
Une petite introduction :
Le mouvement Brownien est un processus stochastique, c'est-à-dire une fonction qui dépend du temps et de lunivers aléatoire, cest une fonction de deux variables.
Brownien=B(t,w) ( t est le temps, et ici w est un évènement « ou une trajectoire » de lunivers aléatoire).
Dans lunivers réel, la trajectoire passée est connue, mais celle à venir ne lest pas.
Vous disposez ainsi dun ensemble de trajectoires à venir possible (une infinité en fait).
Sur chacune de ces trajectoires quon appelle ici « w » le Brownien retourne une fonction du temps Bw :t->Bw(t).
Evidemment nous ne savons pas laquelle de ces trajectoires adviendra.
Tout se passe donc comme si vous disposiez dune famille de fonction (une famille infinie) (Bw), dépendant du temps. Quand la trajectoire w est connue ( sur le passé par exemple) cette fonction Bw est parfaitement établie. Mais pour le futur nous ne pouvons que faire des conjectures et cest là quinterviennent les probabilités. Elles viennent « mesurer laléatoire » ;
La probabilité que le Brownien soit compris entre tant et tant au bout dune heure est de x%, etc :
P( 1>dt (la fonction racine , pour des argument proche de 0 se situe au dessus de la fonction identité, et ici dt est très petit
).
Résulte de cela quen moyenne, le brownien varie plus amplement que nimporte quelle fonction à variations régulières :
Alors que sur un instant très court une fonction classique bougera de lordre de dt :
df=df/dt * dt -> qui est de lordre de dt si la dérivée df/dt est finie» «
Un brownien bougera à un ordre supérieur, il bougera en racine de dt ! (sur presque toutes ses trajectoires, on dit "presque surement")
Ceci pose un problème que le Lemme dItô se charge de résoudre, comme nous le verrons par la suite.
« Et Markov le range dans les processus de saut » :
Markov est le mathématicien à lorigine de la théorie des chaînes de Markov. Une chaîne de Markov est un processus qui na pas de mémoire. La façon dont vous êtes arrivés quelque part ninfluence pas la manière dont vous allez en sortir. Cest un processus nihiliste, le futur ne dépend que du présent, il na aucune valeur morale le salaud. Quand le temps sur lequel est indexé le processus est discret on appelle ce genre de processus une chaîne de markov, quand il est continue cela sappelle un processus markovien de saut :
Le mouvement brownien est un processus markovien de saut.
Ceci est dû à lindépendance de ses accroissements. La valeur de demain peut-être vu comme une somme de la valeur daujourdhui et de laccroissement à venir. Mais comme vu plus haut, cet accroissement est indépendant de ceux passés et donc du passé, toute linformation nécessaire est alors contenue dans le présent :
brownien (demain)= brownien(présent) + accroissement (daujourdhui à demain) .
Dans cette somme le présent est connu et laccroissement libre de son état à venir, quil ait plu la veille ou lavant-veille « on sen fout tas vu ».
Le brownien est même un PAIS, processus à accroissement indépendant et stationnaire (ses accroissements ont la même loi).
Des phénomènes markoviens bien connus sont les marchés boursiers (ils sont markoviens puisque browniens). Ils nont pas de mémoire et toute linformation nécessaire pour prévoir lavenir est contenue dans leur valeur du jour ; la valeur des actions hier ne sert en rien à estimer leur valeur de demain.
Dautres précisions sur wiki :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Cha%C3%AEne_de_Markov« Quand il dévie de sa trajectoire dun coup ! » :
Les processus de sauts se manifestent par des états stationnaires, puis dun coup ils sautent. Ce serait par exemple le cas si vous décidiez de compter comme des autistes, le nombre de bus qui passent à un arrêt pendant une heure. Ce nombre augmente de un à chaque passage(dun coup), après avoir été constant pendant quelques minutes ( la loi du genre la plus connu est la loi de poisson) et cette variation nest pas continue : ce sont des processus « de saut ».
Le brownien est aussi un processus de saut mais particulier, il varie infiniment souvent, de sorte que sur presque toute ses trajectoires, il apparaisse continue (on dit presque sûrement continue).Il nest pas discontinue comme peut lêtre le processus de poisson par exemple ( les bus passe très fréquemment à larrêt avec lui, « cest pas la RATP le brownien».).
« Mais aucune chaîne au sort ne lassujetti » :
Les fameuse chaînes de Markov qui sont incapables de le contenir
Le brownien saute tout le temps, jusquà donner lillusion dun mouvement continue.
« Le brownien est cyclothymique » :
son caractère changeant bien sur, il monte comme il descend avec la même probabilité, et brusquement ! et très souvent !
« Et Newton na rien pu pour lui.
Il ne soccupe que des gens normaux ; »
Newton est à la base (avec Leibniz) du calcul différentiel mais ses résultats ne sont pas adaptés au processus à variation infini tel que le brownien. Le flegme anglais d'Isaac Newton ne sied pas tellement à son excitation.
Si N est un processus du temps « de comportement normal » (qui na pas trop la bougeotte) et que vous cherchez à dériver une fonction f qui dépend du temps à travers lui, vous naurez pas de problème majeur, tout ceci est linéaire et se retrouve dans la formule suivante :
df(N(t))/dt=df(N(t))/dN * dN/dt
Autrement dit la variation infinitésimale de la fonction f ( quon note df) sexplique par le produit de sa sensibilité au processus N et de la variation de N, assez intuitif nest ce pas ?:
df = df/dN * dN
En fait nous considérons des valeurs suffisamment petite pour que cette approche linéaire soit juste, cest la base du calcul différentiel (la dérivé est un opérateur linéaire pour ceux qui sen souviennent).
Tout se passe donc comme si dans linfiniment petit, les variations était affines (se faisaient sur une droite) :
Léquation dune droite est : f(x)=y=ax+b -> avec « a » la valeur de la pente.
Dans notre formule la pente vaut la dérivée : df/dN (normal car la dérivée représente la sensibilité de la fonction aux variations)
Et « x » cest notre dN, c'est-à-dire la variable .
Quant au b on sen tape, il est aspiré par la variation df.
Vous laurez compris « le Brownien est à fleur de peau ;
et trop sensible pour quon le traite » ainsi. :
Lapproximation faite plus haut nest plus valable pour lui, il faut aller jusquà lordre deux ( la dérivée seconde) pour dériver une fonction f qui dépend du temps à travers lui. Avec cette fois B le brownien, la formule différentielle devient :
df = df/dB * dB + ½ d(df/dB)/dB *dt
Cest le lemme dItô!!
Vous voyez que ce terme correcteur prend en compte la sensibilité de la sensibilité de la fonction au brownien. En dautre terme à la différence du calcul différentiel classique, vous devez prendre en compte non seulement la façon dont la fonction change avec la variable, mais aussi la façon même dont évolue cette dépendance (cest la dérivée seconde). Car le brownien « est cyclothymique », il change certes, mais tout le monde change ; cest sa façon de changer quil ne faut pas négliger, elle est changeante
Bien plus que ne change celles des autres.
« Ceux dont la Variation est finie » :
La variation dune fonction sur un intervalle, est la somme infinie de la valeur absolue de ses variations infinitésimales. En gros la somme de toutes ses petites variations sur lintervalle, mises bout à bout.
Pour les fonctions régulières, cette somme est finie et cest assez intuitif, mais le brownien lui change tellement de direction, et pour arriver au même point, quil en fait diverger la somme !
Quand pour aller de 1 à 2, une fonction plus ou moins monotone (pas trop changeante) aura oscillée quelque peu, de sorte quelle aura parcouru peut-être 3 ou 4, le brownien aura lui parcouru des kilomètres de descentes et de montées, le brownien est le dual mathématique de Forest Gump.
Et il se trouve que le calcul différentiel classique nest pas adapté aux fonctions dont la variation est infinie, tel que le brownien et Forest Gump, comme nous lavons vu plus haut.
« A dautres maux dautres remèdes
Et Itô met son bonheur en équation » :
Le lemme ditô ajoute donc ce fameux terme correcteur, la dérivée de la dérivée (en fait la moitié). Et le brownien retombe sur ses pieds ;
« rentre dans le rang »:Le lemme ditô cest léquation qui sociabilise le brownien. Les fonctions peuvent dériver en sa compagnie avec elle ; et grâce à lui le brownien peut jouer son romantique, fini la branlette.
« Le lemme dItô » qui corrige
Ses égarements dun terme au carré !
Cest la dérivée de la dérivée ! »
Car il bouge trop vite et trop souvent !
Et le Brownien rentre dans le rang,
Le brownien a son théorème ! Vilain petit canard.
« Avec ses particularités ! » : Cest vrai quil était bon pour lasile avant
Quelques liens :
Un professeur qui parle de mouvement brownien et de calcul stochastique, de façon légère et sympathique :
http://images.math.cnrs.fr/Le-mouvement-brownien-et-son.htmlhttp://www.proba.jussieu.fr/cours/DEA-07.pdfEt pour les bourrins le cours de Jean Jacod du DEA de probabilité de Paris 6 sur le mouvement brownien et le calcul stochastique.
Page wikipedia :
Mouvement brownien
http://fr.wikipedia.org/wiki/Mouvement_brownienKiyoshi Ito
http://fr.wikipedia.org/wiki/Kiyoshi_ItoLemme dIto
http://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_d%27It%C3%B4Chaine de markov
http://fr.wikipedia.org/wiki/Cha%C3%AEne_de_MarkovMarkov
http://fr.wikipedia.org/wiki/Andrei_Markov_(math%C3%A9maticien)
Calcul stochastique
http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_stochastiqueNewton
http://fr.wikipedia.org/wiki/Isaac_NewtonCalcul différentiel
http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_diff%C3%A9rentielC'est pas beau les mathématiques
?!
Bonne lecture les geeks !!!!