Application injective-surjective

[armani]

Bonjour,
"Soit E et F deux ensembles non vide.
Soit f une application injective f: E -> F .
Il existe alors une application g: F -> E telle que g°f= Id(E).
L'applicationi g est surjective."

Demonstration:
Pour tout élément y ;) Im(f), on définit g(y) comme l'unique antécédent de y par f (cet antécédent existe parce que y;)Im(f), il est unique parce que f est supposée injective). Pour tout y ;) F \ Im(f), on définit g(y) comme un élément arbitraire de E (c'est possible parce que E est non vide). On vérifie sans peine que g(f(x))=x pour tout x;)E. Cela implique en particulier que tout x;)E admet au moint un antécédent par g, à savoir f(x). L'application g est donc bien surjective.

Mon problème:
Mais si g est une application injective dont les les élements y;)F\Im(f) n'auraient pas d'image avec g. Vrai ? Nous aurons toujours f injective et g°f= Id(E).
Ceci m'est important parce que utilisé avec le théorème de Cantor, on aurait:

Il n'existe pas de surjection de E dans P(E) (Cantor), donc pas d'injection de P(E) dans E (Ce qui vient d'être démontrer).

[Nightmare]

Salut,

déjà, g n'est pas injective mais surjective !
Je ne comprends pas ta question, il n'y a pas de question en fait (relis ta phrase).

Pour bien comprendre la démo, fais un dessin !

[armani]

Il n'existe pas de surjection de E dans P(E), donc pas d'injection de P(E) dans E.
Cette phrase est elle vraie pour toutes les applications sur n'importe quel ensemble ?

[mathelot]

Il n'existe pas de surjection de E dans P(E), donc pas d'injection de P(E) dans E.
Cette phrase est elle vraie pour tous les ensembles ?

c'est vrai quelque soit l'ensemble E.

exemple: E=
P(E) a un seul élément:

E est de cardinal 0 et P(E) de cardinal 1.

Le mathématicien georg Cantor a développé la théorie des cardinaux, suite à une étude
sur les ensembles de points de la droite réelle de mesure nulle.

La théorie des ensembles fonde l'arithmétique:
le chiffre 5 est la "classe d'équivalence" de tous les ensembles
qui possèdent un élément de plus que les ensembles de la classe 4. :we: