Construction d'un endomorphisme

[yoo]

Bonjour , je viens de reprendre les cours d'algébgre aprés de longue années de rupture et j'ai perdu pas mal de reflexes . j'aimerai connaitre votre avis sur la solution d'un exercice que je viens de faire
Enoncé: E est un espace vectoriel de dimension n . F et G sont deux sous espaces vectoriels de E .Montrer que dimE=dimF+dimG ssi il existe un endomorphisme u de E tel que Imu=F et Keru=G
Ma propre solution :
On suppose dimE=dimF+dimG
Soit (e1,e2,......,en) une base de E
(e1,e2,.....;,ep) une base de F dim F=p
(e(p+1).....,;en) une base de G dimG=n-p
Soit u:E------->E definie par :
pour tout i appartenant à [1,p] u(ei)=ei
pour tout i appartenant à [p+1,n] u(ei)=O

Imu=Vect(u(e1).........,u(en))=vect(e1,.....ep)=F
Vect(ep+1,....en) C keru

dimE=dim Imu + dimKeru
dimKer u= n-p=dim G
donc G=keru

l'autre implication est trivial il suffit d'appliquer le theoreme du rang

Probleme :je sens que ma demonstration n'est pas coherente c'est comme si je suppose que F et G sont en somme directe alors que c'est pas le cas . vous pensez quoi je dois faire une distinction des cas merci d'avance

[Zavonen]

C'est exact, tu définis le projecteur sur F parallèlement à G quand les deux sont en somme directe.
Il faut utiliser:
Le théorème de la base incomplète. (commencer par compléter une base de G)
Le fait qu'il existe un et un seul endomorphisme transformant une base donnée à n éléments en un système de n vecteurs.
Ensuite tu construis ton endo comme composé d'une projection avec une bijection.

[yoo]

Le fait qu'il existe un et un seul endomorphisme transformant une base donnée à n éléments en un système de n vecteurs :doh: j'ai rien compris mais merci quand meme

[Arkhnor]

Salut.

Si E est un espace vectoriel de dimension n, si tu te fixes une base de E de E, et un système de n vecteurs de E (pas forcément une base), alors il existe une unique application linéaire de E dans E telle que .

C'est du cours, si tu ne connais pas ce résultat, tu peux le redémontrer, c'est très simple.

[yoo]

:marteau: je le connais pas je vais essayer de la demontrer apres je vais voir en quoi il va nous servir dans mon exo merci

[yoo]

en fait on appelle comment ce théorème

[Arkhnor]

Je ne crois pas qu'il porte de nom, c'est un résultat élémentaire, on voit que si l'application existe, en utilisant la linéarité, et le caractère générateur de la base, alors elle est uniquement déterminée, et ce faisant, on voit comment la définir.

[Light_99]

:id: effectivement yoo ya un prob
F et G ne sont po en somme direct :!:
donc tu ne peux po conclure que (e(p+1).....,en) est une une base de G ,par exemple, il se peut que (e1,e2,....e(n-p)) soit une base de G , pk po ? :happy2: