Bonjour a tous, je vais commencer a raconter trois lignes sur my life : le train, c'est souvent long et on a rien a y faire, on a le téléphone, la musique, et on glande littéralement. C'est ce qui m'est arrivé jusqu'a ce que je tombe sur la calto du téléphone. Je veux faire mumuse, et je fais un composé de ln. Et la il me dit, erreur. En gros ce n'etait pas une expression définie pour la valeur entrée ; d'ou ma question de base : quel est le domaine de définition d'un n composé de ln ?
Une feuille de brouillon, et je note le raisonnement suivant :
Précisons tout d'abbord que j'entends par n composé de ln le nombre de composés de ln. C'est à dire que
})
est un 0 composé de ln,
})
un 1 composé.
Pour établir une conjecture, j'ai décidé de testé pour n variant de 0 à 3.
n=0 :
:
:
:
et
}=0)
Vu que la fonction
}))
est strictement croissante sur
tous les n composés sont strictements croissants sur leurs domaines de définition. Donc pour tout
,
}>0)
et
})})
est défini. On pourra procéder de la même manière pour
.
n=1 :
:
:
:
et
})}=0)
n=2 :
})})})
:
:
:
et
})})}=0)
n=3 :
)}})})})
:
:
:
et
})})})}=0)
D'où ma conjecture : le domaine de définition d'un n composé du logarithme népérien est :
:
avec
et
:
Pour la démontrer j'ai utilisé une récurrence.
Pour n=1, voir plus haut :
:
: la propriété est vérifiée au rang 1.
Supposons que pour tout
, tel que
,
on a : le domaine de définition du m composé de ln :
:
Montrons que le domaine de définition du k+1 composé de ln est :
:
. Il faut donc montrer que ce k+1 composé est défini pour
et donc, en utilisant le procédé précédant et en notant
})
le k composé de ln ; cela revient à démontrer que le k+1 composé sera défini pour tout
, avec
}=0)
. Hors par hypothèse de récurrence, en utilisant un raisonnement similaire, on a :
}=0)
})}=0)
}=0)
Par définition de la suite,
Et donc le k+1 composé est défini pour tout
et donc le domaine de définition de ce k+1 composé est :
:
La propriété est vérifié au rang 1 et héréditaire à partir du rang 1, elle est donc vraie pour tout
.
Le domaine de définition d'un n composé de ln est donc :
:
avec
et
:
Après cela, une petite question ; est-ce bon ?
Mais après, j'ai voulu essayer d'exprimer explicitement cette suite...et la j'ai pas d'idée du tout... Vu que la suite n'est pas arithmétique, ni géométrique, ni arithmético géométrique j'ai pas pu trouver. Je ne vois pas de changement de variable ou autre technique comme la somme ou le produit des n premiers termes, je trouve que des definitions de l'exponentielle. Quelqu'un a une idée, un aiguillement ?
