Algèbre linéaire

[marieco]

Bonjour,
Je suis en prépa bcpst et les profs nous demandent de rendre un DM de maths à la rentrée, histoire que l'on n'oublie pas tous nos acquis de 1ere année. Mais il faut croire que j'en ai déja oublié beaucoup puisque je bloque sur une question qui ne me parait pourtant pas bien compliquée. ALors si quelqu'un pouvait m'aider ça serait vraiment gentil.

Voila la question:
Soit f une application linéaire telle que:
f(x,y,z)=(x+y+z , x+y+z , x+2y+3z , x+2y+3z)
déterminer l'image par f du plan d'équation x+y+z=0

Merci d'avance!

[Maks]

Je pense que tu devrais determiner une base du plan, puis l'image des vecteurs de cette base par .

[Ericovitchi]

Est-ce que l'on ne peut pas juste dire que l'image est de la forme (0,0,k,k) donc k.(0,0,1,1), c.a.d une droite ?

[marieco]

Je pense que tu devrais determiner une base du plan, puis l'image des vecteurs de cette base par .

J'y ai bien pensé mais une base de ce plan est par exemple la famille ((-1,1,0) (-1,0,1)). Je ne vois pas en quoi est-ce que ça me fait avancer... Est-ce qu'il suffit juste de calculer l'image de chacun des 2 vecteurs qui constituent cette base?

[Maks]

Est-ce qu'il suffit juste de calculer l'image de chacun des 2 vecteurs qui constituent cette base?

Tout à fait.

Si tu n'es pas convaincue, prends un vecteur quelconque du plan, écris le dans la base que tu as trouvé, et prends son image par . Tu verras alors que l'image des vecteurs de la base suffit pour determiner .

Au passage, la remarque d'Ericovitchi conclut en effet l'exercice plus rapidement, mais ne marche pas de manière générale. Ce que je propose marche à tous les coups (je ne critique pas la méthode d'Ericovitchi hein, c'est juste en guise de remarque :ptdr: ).

[xyz1975]

Est-ce que l'on ne peut pas juste dire que l'image est de la forme (0,0,k,k) donc k.(0,0,1,1), c.a.d une droite ?

Oui c'est bien ça.

[marieco]

Alors il ne me reste plus qu'à vous remercier!!