Un probléme de suite

[perlman]

Bonjour ! Attention au respect de la charte du forum

Est ce que qlq'un a la démo du théorème suivant:

On considère une suite réelle bornée telle que toute suite extraite de cette suite si elle convergente, converge vers la même limite L .
Montrer que Un converge vers L.
On sait qu'on peut extraire une suite convergente de toute suite bornée, et que toute suite extraite d'une suite convergente est convergente de même limite.
Ben voilà je sais tout ça mais j'arrive pas à résoudre le problème, Help!

[Doraki]

Il faut raisonner par l'absurde.

[perlman]

En admettant les hypothèses et en supposant que Un ne converge pas.Bien.
On peut tout de même trouver des suites extraites de Un qui convergent car elles sont bornées( d'après le théorème de Bolzano-Weierstrass)ces suites convergeraient vers la même limite L.Je plus plus avancer.Le problème dans tous ça c'est qu'on peut trouver des suites extraite qui n'ont tout simplement pas de limite.

[Nightmare]

Salut !

On peut raisonner par contre-apposition.

On suppose que (Un) ne converge pas vers L. C'est à dire que soit (Un) converge vers un élément l de différent de L, soit elle n'admet pas de limite.

Dans le cas où l est réel on a évidemment une contradiction puisque l est valeur d'adhérence. Essaye de voir ce qu'on peut faire avec les autres cas.

[perlman]

plus l'infini est impossible puisque Un est bornée.Reste le cas oû Un n'a pas de limite.

[Nightmare]

Exact, on approche !

[skilveg]

Essaie d'écrire ce que signifie le fait que ne converge pas vers .

[perlman]

à oui ça veut dire que Un admet deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes.Or, toutes suite extraite converge vers la même limite L.On a belle et bien une contradiction. Conclusion: Un est convergente.
Le problème est résolu :id: .
Merci à tous

[Maks]

ça veut dire que Un admet deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes.

C'est sûr ça ?

[perlman]

oui du moment oû il y a équivalence entre (Un converge)<=>(toutes suite extraite de Un converge vers la meme limite que Un) alors on peut déduire l'équivalence (Un diverge)<=>(Il éxiste deux suites extraites de U, qui convergent vers deux limites différentes).
P<=>Q équivalent à nonP<=>nonQ

[Zavonen]

(Un converge)(toutes suite extraite de Un converge vers la meme limite que Un)

Cette assertion n'a logiquement aucun sens. Dire qu'une suite converge c'est dire qu'elle a une limite. Dire que toute suite extraite converge vers la même limite QUE u_n présuppose que u_n converge, donc l'équivalence est un pur sophisme (en tant qu'implication de la droite vers la gauche).
Ce qu'il faut montrer c'est ceci:
Si toutes les suites extraites convergent vers une limite commune L (dont on ne sait pas a priori qu'elle est limite de u_n) et si u_n ne converge pas vers L alors on peut extraire de u_n une suite ne convergeant pas vers L d'où une contradiction.

[Maks]

Ouais, je trouve que ça manque de clarté tout ça ...

[perlman]

ok j'enlève le dernier mot de la deuxième proposition : (toutes les suites extraites de la suite Un sont convergentes et de même limite)
et comme ça ?

[Zavonen]

Et comme ça cela a du sens. Et en plus c'est vrai!
De gauche à droite c'est un point du cours. Toute suite extraite d'une suite cv est cv et converge vers la même limite que la suite 'mère'.
De droite à gauche.
On raisonne par l'absurde. Soit L la limite commune de toutes les suites extraites de u.
Supposons que u ne tende pas vers L. Alors il existerait un e>0 tel que pour tout N entier il existerait n>N avec |u_n-L|>e.
Posons n=p(N) on donne à N les valeurs 0,1,2, ...,n, ....
Alors u_p(n) est une suite extraite de u ne tendant pas vers L d'où la contradiction.

[perlman]

c'est parfait.